<< Пред. стр.

стр. 13
(общее количество: 26)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>











(142.5)

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:
(142.6)
Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом
(142.7)
где L = J/(ml) — приведенная длина физического маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.
3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника
(142.8)
где l — длина маятника.
Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника
(142.9)
Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

§ 143. Свободные гармонические колебания в
колебательном контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R » 0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в начальный момент времени t = 0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого — (см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна 1/2 LQ2) — возрастать.



Рис. 202

Так как R » 0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t = 1/4Т, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла бить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202, г) и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.
Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис. 202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q2/(2C)) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ2/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы m, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.
Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R,

где IR — напряжение на резисторе, UC = Q/C — напряжение на конденсаторе, ?s = - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока (?s — единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,
(143.1)
Разделив (143.1) на L и подставив и ?, получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:
(143.2)
В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. § 140). Если со противление R = Q, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:

Из выражений (142.1) и (140.1) вытекает, что заряд Q совершает гармонические колебания по закону
(143.3)
где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой w0, называемой собственной частотой контура, т. е.
(143.4) (143.5)
Формула (143.5) впервые было получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))

(143.7)
где Um = Qm/C — амплитуда напряжения.
Из выражений (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока / опережают по фазе колебания заряда Q на p/2, т. е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наоборот.

§ 144. Сложение гармонических колебаний
одного направления и одинаковой частоты.
Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Так как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью w0, то разность фаз (j1 - j2) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет
(144.1)
В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются соотношениями
(144.2)


Рис. 203

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j2 - j1) складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j2 - j1) :
(j2 - j1) = ±2mp (m=0, 1, 2, ...), тогда A = A1 + A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;
(j2 - j1) = ±(2m + 1)p (m = 0, 1, 2, ...), тогда A = |A1 — A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны w и w + Dw, причем Dw ? w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2 ? w, найдем
(144.3)
Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой со, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:
(144.4)
Частота изменения Аs в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.


Рис. 204

Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.
Любые сложные периодические колебания s = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w0:
(144.5)
Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье* [* Ж. Фурье (1768—1830) — французский ученый.]
. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w0, 2w0, Зw0 называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

§ 145. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Дня простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем
(145.1)
где a — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinwt на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:
(145.2)
Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.
Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:
1) a = mp (m = 0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой
у = ± (В/А)х, (145.3)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой со и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

Рис. 205

2) (m = 0, ±1, ±2, ...). В данном случае уравнение примет вид
(145.4)
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А = В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Рис. 206

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лнссажу* [* Ж. Лиссажу (1822—1880) — французский физик.]
.

Рис. 207
Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j).
Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.


§ 146. Дифференциальное уравнение свободных
затухающих колебаний (механических и
электромагнитных) и его решение.

Автоколебания
Рассмотрим свободные затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде
(146.1)
где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d = const — коэффициент затухания, w0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d = 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде
(1462)
где u = u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим
(146.3)
Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
(146.4)
(если (w2 - d2) > 0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1) , решением которого является функция u = A0cjs(wt + j) (см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d2 ? w20)


(146.6)



(146.6)
— амплитуда затухающих колебаний, а A0 — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t = 1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Рис. 208

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и» строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (146.4) равен

Если А(T) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебании, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм
(146.7)
— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна
(146.8)
(так как затухание мало (d2 ? w20), то T принято равным Т0).
Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= - kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е.


где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
(146.9)
Используя формулу (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания
(146.10)
получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота (см. (146.4)).
Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10), .
2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R № 0) имеет вид (см. (143.2))

Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания
(146.11)
дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону
(146.12) (146.13)
меньшей собственной частоты контура w0 (см. (143.4)). При R = 0 формула (146.13) переходит в (143.4).
Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура (см. (146.8))
(146.14)
В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебаний растет и при d = w0 обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t ® Ґ. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.
Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).
Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.
Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.






§ 147. Дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний (механических
и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
F=F0 cos wt. (147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде
mх? = - kx – rx + F0 cos wt.

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению
(147.2)
Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
(147.3)
Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению
(147.4)
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
(147.5)
применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).
Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину
(147.6)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных (s = ihs0eiht , s? = - h2s0eiht ) в уравнение (147.6), получаем
(147.7)
Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h = w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на


Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где
(147.8) (147.9)
Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна
(147.10)
где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид
(147.11)
Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения
(147.12)
(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой со и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.


Рис. 209

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что w20 = l/(LC) (см. (143.4)) и d = R/(2L) (см. (146.11)):
(147.13)
Продифференцировав Q = Qmcos(wt - a) no t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

(147.14) (147.15)
Выражение (147.14) может быть записано в виде

где j = a - p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)
(147.16)
Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j > 0), если wL > 1/(w0С), и опережает напряжение (j < 0), если wL < l(wC).
Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграммы. Это сделано в § 149 для переменных токов.

§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
(механических и электромагнитных).
Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.
Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту wрез — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее wрез

Это равенство выполняется при w = 0, , у которых только лишь положи тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота
(148.1)
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При d2 ? w20 значение wрез, практически совпадает с собственной частотой w0 колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим
(148.2)
На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях d. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения x0/w20, которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний x0/w20 = F0/(mw20) в случае электромагнитных — Um/(Lw20). Если w®Ґ, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.


Рис. 210

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (d2 ? w20) резонансная амплитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), x0/w20 — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.
На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока).




Рис. 211

Амплитуда скорости (тока)

максимальна при w20 = w0 и равна x0/(2d), т. е. чем больше коэффициент затухания d, ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом резонансе

Из выражения tgj = 2dw/( w20 - w2) (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d = 0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j № 0.
Зависимость j от w при разных коэффициентах d графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w = 0 j = 0, а при w = w0 независимо от значения коэффициента затухания j = p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при w ? w j ® p, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.




Рис. 212

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

§ 149. Переменный ток

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания (см. § 147) можно рас сматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).
Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содержащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение
(149.1)
где Um — амплитуда напряжения.
1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L®0, C®0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:


где амплитуда силы тока Im = Um/R.


Рис. 213

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 213, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um на резисторе (сдвиг фаз между Im и Um равен нулю).
2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R®0, С®0) (рис. 214, а).

Рис. 214

Если в цепи приложено переменное напряжение (149.1), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции (см. (126.3)) ?s = . Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого участка цепи имеет вид
(149.2)
Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то
(149.3)
есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что

после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим
(149.4)
где Im= Um/(wL). Величина
(149.5)
называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлением). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока (w = 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка значения Um = wLIm в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:
(149.6)
Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения UC опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).
3.Переметни ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L®0) (рис. 215, а).


Рис. 215

Если переменное напряжение (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то

















называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением). Для постоянного тока (w = 0) RC®Ґ, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе
(149.8)
Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряжения UC отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).
4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. На рис. 216, а представлен участок цепи, содержащий резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор ем костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (149.1).


Рис. 216
В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL и Uc. На рис. 216, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и конденсаторе (UC). Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))
(149.9)
Из прямоугольного треугольника получаем

откуда амплитуда силы тока имеет значение
(149.10)
совпадающее с (147.15).
Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону
U = Umcoswt, то в цепи течет ток
(149.11)
где j и Iш определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина
(149.12)
называется полным сопротивлением цепи, а величина

- реактивным сопротивлением.
Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений UR и UL в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из которого следует, что
(149.13)
Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(wС)=0, т. е. С = Ґ. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С = Ґ, а не С = 0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности; см. (94.3)).


Рис. 217

§ 150. Резонанс напряжений

Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),
(150.1)
то угол сдвига фаз между током и напряжением (149.9) обращается в нуль (j = 0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота
(150.2)
В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном Um) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (UR = U), а падения напряжений на конденсаторе (UC) и катушке индуктивности (UL) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последовательным резонансом), а частота (150.2) — резонансной частотой. Векторная диаграмма для резонанса напряжений приведена на рис. 218, а зависимость амплитуды силы тока от w уже была дана на рис. 211.


Рис. 218
В случае резонанса напряжений

подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

где Q — добротность контура, определяемая выражением (146.14). Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QUm (Q в данном случае — добротность контура, которая может быть значительно больше Um). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.

<< Пред. стр.

стр. 13
(общее количество: 26)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>