<< Пред. стр.

стр. 14
(общее количество: 26)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


§ 151. Резонанс токов

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 219).


Рис. 219

Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U = Umcoswt (см. (149.1)), то, согласно формуле (149.11), в ветви 1С2 течет ток

амплитуда которого определяется из выражения (149.10) при условии R = 0 и L = 0:

Начальная фаза j1 этого тока по формуле (149.9) определяется равенством
(151.1)
Аналогично, сила тока в ветви 1L2

амплитуда которого определяется из (149.10) при условии R = 0 и С = Ґ (условие отсутствия емкости в цепи, см. § 149):

Начальная фаза j2 этого тока (см. (149.9))
(151.2)
Из сравнения выражений (151.1) и (131.2) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна j1 - j2 = p, т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

Если w = wрез = 1/ЦLC, то Im1 = Im2 и Im = 0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты со приложенного напряжения к резонанс ной частоте соре, называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. § 150).
Амплитуда силы тока Im оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R, то разность фаз j1 - j2 не будет равна p, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока Im будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I1 и I2 компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 и I2 могут значительно превышать силу тока I.
Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами (см. § 125). В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.

§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного
тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t) = Umcoswt, I(t) = Imcos(wt - j) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos(wt - j), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что бcos2wtс = 1/2, бsinwt coswtс = 0, получим
(152.1)
Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что Umcosj = RIm. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток

Величины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.
Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно записать в виде
(152.2)

где множитель cosj называется коэффициентом мощности.
Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj = l и Р = IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), то cosj = 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cosj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

Задачи

18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v=2 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х0 =6 см, со скоростью v0 = 14 см/с. Определить амплитуду колебания. [6,1 см]

18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза p/3. [х = 0,04cos(pt + p/3)]

18.3. При подвешивании грузов массами m1 = 500 г и m2=400 г к свободным пружинам последние удлинились одинаково (Dl =15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см]

18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на Dl =16 см, совершают за одно и то же время: один n1 = 10 колебаний, другой n2—6 колебаний. Определить длины маятников l1 и l2 [l1 ˜9 см, l2 =25 см]

18.6. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. (0,3 мкВб]

18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет p/4. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения .этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю. [x = 0,037соs (pt/4 + p/8)]

18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = cospt и y = cospt/2. Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба. [2y2 – x = 1]

18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]

18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Заряд на обкладках конденсатора Qm = 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,06; 3) U = 100е-20tcos 636pt]

18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]

18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см2, содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]

18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]

18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГц и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контуре незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]






Глава 19
Упругие волны

§ 153. Волновые процессы. Продольные и
поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положении равновесия. Вместе с волной 6т частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением x частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функции x(х, t) похож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость .смещения данной частицы от времени.

Рис. 220

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны Я (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что Т = 1/v, где v — частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

§ 154. Уравнение бегущей волны. Фазовая
скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846—1915), решившего задачу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от х и t, т. е. x = x(x, t).
На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости x=Q, описываются функцией x(0, t) = Acoswt, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на т, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид
(154.1)
откуда следует, что x(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
(154.2)
где А = const — амплитуда волны, w — циклическая частота, j0 — начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [w(t - x/v) + j0] — фаза плоской волны.
Для характеристики волн используется волновое число
(154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид
(154.4)
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.
Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140). Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.
(154.5)
Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим
откуда
(154.6)
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как
(154.7)
где г — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/г. Уравнение (154.7) справедливо лишь для г, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость
(154.8)
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных
(154.9)
где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
(154.10)







§ 155. Принцип суперпозиции.
Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.
Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.
«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dw ? w и dk ? k. Тогда

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.
За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что tdw = xdk = const, получим
(155.1)
Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Выражение (155.1) получено для волнового пакета из двух составляющих, однако можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае.
Рассмотрим связь между групповой (см. (155.1)) и фазовой u =w/k (см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что k =2p/l (см. (154.3)), получим 288

или
(155.2)
Из формулы (155.2) вытекает, что и может быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака dv/dl. В недиспергирующей среде dv/dl. = 0 и групповая скорость совпадает с фазовой.
Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т. д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость u Ј c, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

§ 156. Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.
Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2 (рис. 221), колеблющимися с одинаковыми амплитудой A0 и частотой w и постоянной разностью фаз.



Рис. 221

Согласно (154.7),

где rl и г2 — расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, k — волновое число, j1 и j2 — начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Амплитуда результирующей волны в точке В по (144.2) равна

Так как для когерентных источников разность начальных фаз (j1 - j2) = const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины D = г1 – r2, называемой резвостью хода волн.
В точках, где
(156.1)
наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания A = |A0/r1 + A0r2| . В точках, где
(156.2)
наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания A = |A0/r1 - A0r2|; m = 0, I, 2, ..., называется соответственно порядком интерференционного максимума или минимума.
Условия (156.1) и (156.2) сводятся к тому, что
(156.3)
Выражение (156.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках S1 и S2. Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой семейство гипербол (рис. 221), отвечающих условию j1 - j2 = 0. Между двумя интерференционными максимумами (на рис. 221 сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (на рис. 221 штриховые линии).
§ 157. Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.
Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид
(157.1)
Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2p/l (см. (154.3)), получим уравнение стоячей волны:

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны прoисходят колебания той же частоты w с амплитудой A = |2Аcos (2px/l)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.
В точках среды, где
(157.3)
амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках
среды, где
(157.4)
амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (АСT = 2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (Aст = 0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.
Из выражений (157.3) и (157.4) получим соответственно координаты пучностей и узлов:
(157.5) (157.6)
Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны А/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно А/4.
В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (157.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2Аcos(2pхl) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на тс, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.
Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае возникает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис. 222, а), если более плотная — узел (рис. 222, б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Бели же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — образуется пучность.

Рис. 222

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

§ 158. Звуковые волны

Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16—20 000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с v < 16 Гц (ннфразвуковые) и v > 20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.
Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.
Интенсивностыо звука (или силой звука) называется величина, определяемая сред ней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

Единица интенсивности звука в СИ — ватт на метр в квадрате (Вт/м2).
Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы, вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая (порот слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения) интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие. На рис. 223 представлены зависимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, является областью слышимости.

Рис. 223
Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей вол новой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

где I0 — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10-12 Вт/м2. Величина L называется уровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, — децибелами (дБ).
Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, который выражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует «90 фон, а шепот на расстоянии 1 м — » 20 фон.
Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром, который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутствуют колебания отделенных друг от друга определенных частот).
Звук характеризуется помимо громкости еще высотой и тембром. Высота звука — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определенными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемое тембром звука. Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустический спектр, т. е. их голоса имеют различный тембр.
Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).
Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последовательно передается к все более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле
(158.1)
где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса, g = Cp/Cv — отношение молярных теплоемкостсй газа при постоянных давлении и объеме, Т — термодинамическая температура. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при T = 273 К скорость звука в воздухе (M = 29Ч10-3 кг/моль) v = 331 м/с, в водороде (M = 2Ч10-3 кг/моль) v = 1260 м/с. Выражение (158.1) соответствует опытным данным.
При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).
Для акустики помещений большое значение имеет реверберации звука — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения его источника. Если помещения пустые, то происходит медленное затухание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглощающих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации — это время, в течение которого интенсивность звука в помещении ослабляется в миллионами, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации составляет 0,5—1,5 с.

§ 158. Эффект Доплера в акустике

Эффектом Доплера* [* Х. Доплер (1803—1853) — австрийский физик, математик и астроном.]
называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых коле-
Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; «„„ и «щ,— соответственно скорости движения источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны, если удаляется. Частота колебаний источника равна v0.
1. Источник в приемник покоятся относительно среды, т. е. vист = vпр = 0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны l = vT = u/v0. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте v0, с которой звуковая волна излучается источником.
2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т.е. vпр > 0, vист = 0.
В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v + vпр. Так как длина волны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v + vпр)/v раз больше частоты колебаний источника.
3. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. vист >0, vпр = 0.
Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT (равное длине волны А) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние vист T (рис. 224), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной l' = l - vистТ =(v - vист)T, тогда

т. е. частота v колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v - vист) раз. В случаях 2 и 3, если vист < 0 и vпр < 0, знак будет обратным.


Рис. 224

4. Источник и приемник движутся относительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником:
(159.1)
причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.
Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или приемник. Если направления скоростей vпр, и vист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.

§ 160. Ультразвук и его применение
По своей природе ультразвук представляет собой упругие волны, и в этом он не отличается от звука (см. § 158). Однако ультразвук, обладая высокими частотами (v > 20 кГц) и, следовательно, малыми длинами волн, характеризуется особыми свойствами, что позволяет выделить его в отдельный класс явлений. Из-за малых длин волн ультразвуковые волны, как и свет, могут быть получены в виде строго направленных пучков.
Для генерации ультразвука используются в основном два явления.
Обратный пьезоэлектрический эффект (см. также § 91) — это возникновение деформации в вырезанной определенным образом кварцевой пластинке (в последнее время вместо кварца применяется титанат бария) под действием электрического поля. Если такую пластинку поместить в высокочастотное переменное поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. При резонансе на собственной частоте пластинки получают большие амплитуды колебаний и, следовательно, большие интенсивности излучаемой ультразвуковой волны. Идея кварцевого ультразвукового генератора принадлежит французскому физику П. Ланжевену (1872—1946).
Магнитострикция — это возникновение деформации в ферромагнетиках под действием магнитного поля. Поместив ферромагнитный стержень (например, из никеля или железа) в быстропеременное магнитное поле, возбуждают его механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.
Ультразвуки широко используются в технике, например для направленной подводной сигнализации, обнаружения подводных предметов и определения глубин (гидролокатор, эхолот). Например, в эхолоте от пьезокварцевого генератора, укрепленного на судне, посылаются направленные ультразвуковые сигналы, которые, достигнув дна, отражаются от него и возвращаются обратно. Зная скорость их распространения в воде и определяя время прохождения (от подачи до возвращения) ультразвукового сигнала, можно вычислить глубину. Прием эха также производится с помощью пьезокварца. Звуковые колебания, дойдя до пьезокварца, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, которые измеряются.
Если пропускать ультразвуковой сигнал через исследуемую деталь, то можно обнаружить в ней дефекты по характерному рассеянию пучка и по появлению ультра звуковой тени. На этом принципе создана целая отрасль техники — ультразвуковая дефектоскопия, начало которой положено С. Я. Соколовым (1897—1957). Применение ультразвука легло также в основу новой области акустики — акустоэлектроники, позволяющей на ее основе разрабатывать приборы для обработки сигнальной информации в микрорадиоэлектронике.
Ультразвук применяют для воздействия на различные процессы (кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т. д.) и биологические объекты (повышение интенсивности процессов обмена и т. д.), для изучения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т. д.). Ультразвук используется также для механической обработки очень твердых и очень хрупких тел, в медицине (диагностика, ультразвуковая хирургия, микромассаж тканей) и т. д.

Задачи

19.1. Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v = 12 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x1 = 7 м и x2 = 12 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Dj = 5/6p. Амплитуда волны А = 6 см. Определить: 1) длину волны l; 2) уравнение волны; 3) смещение x2 второй точки в момент времени t=3 с. [1) 12 см; 2) x(х, t) = 0,06cos(2pt - pх/6); 3) 6 см]

19.2. Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. Приемник находится на расстоянии 4 м от центра динамиков. Принимая скорость звука 340 м/с, определить, на какое расстояние от центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировал
первый интерференционный минимум. [0,34 м]

19.3. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте 1700 Гц. составляет 10 см. Определить скорость звука в воздухе. [340 м/с]

19.4. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 461 м/с. Определить скорость распространения звука при тех же условиях. [315 м/с]

19.5. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты Dv=54 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить частоту тона звукового сигнала гудка поезда. [611 Гц]

Глава 20
Электромагнитные волны

§ 161. Экспериментальное получение
электромагнитных волн

Существование электромагнитных вола — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью, — вытекает из уравнений Максвелла (см. § 139). Уравнения Максвелла сформулированы в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Как уже указывалось, решающую роль для утверждения максвелловской теории сыграли опыты Герца (1888), доказавшие, что электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде волн, поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.
Источником электромагнитных волн в действительности может быть любой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток смещения) или соответственно переменное магнитное поле. Однако излучающая способность источника определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить объем пространства, в котором переменное электромагнитное поле создается. Поэтому для получения электромагнитных волн непригодны закрытые колебательные контуры, так как в них электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное — внутри катушки индуктивности.
Герц в своих опытах, уменьшая число витков катушки и площадь пластин конденсатора, а также раздвигая их (рис. 225, а, 6), совершил переход от закрытого колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратору Герца), представляющему собой два стрежня, разделенных искровым промежутком (рис. 225, в).

Рис. 225

Если в закрытом колебательном контуре переменное электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора (рис. 225, а), то в открытом оно заполняет окружающее контур пространство (рис. 255, в), что существенно повышает интенсивность электромагнитного излучения. Колебания в такой системе поддерживаются за счет источника э.д.с., подключенного к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки.
Для возбуждения электромагнитных волн вибратор Герца В подключался к индуктору И (рис. 226).

Рис. 226

Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значения, возникала искра, закорачивающая обе половины вибратора, и в нем возникали свободные затухающие колебания. При исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались. Затем индуктор снова заряжал конденсатор, возникала искра и в контуре опять наблюдались колебания и т. д. Для регистрации электромагнитных волн Герц пользовался вторым вибратором, называемым резонатором Р, имеющим такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т. е. настроенным в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.
С помощью описанного вибратора Герц экспериментировал с электромагнитными волнами, длина волны которых составляла примерно 3 м. П. Н. Лебедев, применяя миниатюрный вибратор из тонких платиновых стерженьков, получил миллиметровые электромагнитные волны с А=6 — 4 мм. Дальнейшее развитие методики эксперимента в этом направлении позволило в 1923 г. российскому физику А. А. Глаголевой-Аркадьевой (1884—1945) сконструировать массовый излучатель, в котором короткие электромагнитные волны, возбуждаемые колебаниями электрических зарядов в атомах и молекулах, генерировались с помощью искр, проскакиваемых между металлическими опилками, взвешенными в масле, Так были получены волны с l от 50 мм до 80 мкм. Тем самым было доказано существование волн, перекрывающих интервал между радиоволнами и инфракрасным излучением.
Недостатком вибраторов Герца и Лебедева и массового излучателя Глаголевой-Аркадьевой являлось то, что свободные колебания в них быстро затухали и обладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо создать автоколебательную систему (см. § 146), которая обеспечивала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Поэтому в 20-х годах нашего столетия перешли к генерированию электромагнитных волн с помощью электронных ламп. Ламповые генераторы позволяют получать колебания заданной (практически любой) мощности и синусоидальной формы.
Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн l = c/v, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и g-излучения (табл.5). Следует отметить, что границы между различными видами электромагнитных волн довольно условны.
Таблица 5

Вид излучения
Длина волны, м
Частота волны, Гц
Источник излучения
Радиоволны
103-10-4
3Ч105-3Ч1012
Колебательный контур
Вибратор Герца
Массовый излучатель Ламповый генератор
Световые волны:
инфракрасное излучение
видимый свет
ультрафиолетовое излучение
Рентгеновское излучение
Гамма-излучение





5Ч10-4 - 8Ч10-7
8Ч10-7 - 4Ч10-7
4Ч10-7 – 10-9

2Ч10-9 - 6Ч10-12

< 6Ч10-12





6Ч1011 – 3,75Ч1014
3,75Ч1014 - 3Ч1017
7,5Ч1014 -3Ч1017
l,5Ч10I7 -5 1019


>5-1019




Лампы
Лазеры




Трубки Рентгена

Радиоактивный распад
Ядерные процессы
Космические процессы

§ 182. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Как уже указывалось (см. § 161), одним из важнейших следствий уравнений Максвелла (см. § 139) является существование электромагнитных волн. Можно показать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (1S4.9):
(162.1) (162.2)

— оператор Лапласа, v — фазовая скорость.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением
(162.3)
где , e0 и m0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при e =1 и m= 1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость e и m от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.
Следствием теории Максвелла является поперечностъ электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, причем векторы Е, Н и у образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением
(162.4)
Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.




Рис. 227

Oт уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям
(162.5) (162.6)
где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.
Уравнениям (162.5) и (162.6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями
(162.7) (162.8)
где Е0 и Н0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, w — круговая частота волны, k = w/v — волновое число, j — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. В уравнениях (162.7) и (162.8) j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.

§ 163. Энергия электромагнитных волн.
Импульс электромагнитного поля

Возможность обнаружения электромагнитных волн указывает на то, что они переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэл (см. (95.8)) и wм (см. (130.3)) электрического и магнитного полей:


Учитывая выражение (162.4), получим, что плотности энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинаковы, т. е. w33=wtl. Поэтому

Умножив плотность энергии w на скорость v распространения волны в среде (см. (162.3)), получим модуль плотности потока энергии:

Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ЕН] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова — Пойнтинга:

Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядочение двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца. Однако значение этого давления ничтожно мало. Можно оценить, что при средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление для абсолютно поглощающей поверхности составляет примерно 5 мкПа. В исключительно тонких экспериментах, ставших классическими, П. Н. Лебедев в 1899 г. доказал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. — на газы. Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.
Существование давления электромагнитных волн приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электромагнитного поля

где W— энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р = mс (поле в вакууме распространяется со скоростью с), получим р = mс = W/c, откуда
(163.1)
Это соотношение между массой и энергией электромагнитного поля является универсальным законом природы (см. также § 40). Согласно специальной теории относительности, выражение (163.1) имеет общее значение и справедливо для любых тел независимо от их внутреннего строения.
Таким образом, рассмотренные свойства электромагнитных волн, определяемые теорией Максвелла, полностью подтверждаются опытами Герца, Лебедева и выводами специальной теории относительности, сыгравшими решающую роль для подтверждения и быстрого признания этой теории.


<< Пред. стр.

стр. 14
(общее количество: 26)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>