стр. 1
(общее количество: 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Раздел 1. Теория случайных чисел.

Все события делятся на детерминированные, случайные и неопределенные.
Если событие наступает в эксперименте всегда, оно называется достоверным, если никогда – невозможным. Это детерминированные события.
Статистическое определение вероятности: Если в опыте, повторяющемся n раз, событие появляется mA раз, тогда относительная частота наступления события: . Р(А) – вероятность наступления события А.
Для достоверного события W: Р(W)=1. Для невозможного события ?: Р(?)=0.
0 ? P(A) ? 1, т.к. 0?mA?n a 0 ? hn(A) ? 1
W mA=n hn(A)=1
? mA=0 hn(A)=0
Все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта называются элементарными событиями. Наряду с ними можно наблюдать более сложные события – комбинации элементарных.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если появление одного из них не более возможно, чем другого.
Классическое определение вероятности: Если n-общее число элементарных событий и все они равновозможные, то вероятность события А:
,
где mA- число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Раздел 2. Сложные события.
Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.
Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В, заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.
Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. АIВ
А=В: АIВ, ВIА
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.
Если события несовместны, то АВ=?.
События А1, А2, …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если они являются несовместными и одно из них обязательно происходит:
AiAj=? (i?j, i,j=1,2…n)
A1+A2+…+An=W
- событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.
А и - полная группа событий, т.к. А+ =W, А =?.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:
Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…
Следствие. Если события A1+A2+…+An - полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1.

P(A+ ) = P(A) + P( ) = 1
Вероятность наступления двух совместных событий равна:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)



Теорема. Если АIВ, то Р(А) ? Р(В).
В=В1+В2 (В1=А) Р(В)=Р(В1) + Р(В2)= Р(А) + Р(В2)



Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.

Опыт повторяется n раз, mB раз наступает событие В, mАВ раз наряду с событием В наступает событие А.
hn(B) = hn(AB) =
Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило:

- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

Свойства условных вероятностей.
Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.
0 ? Р(А/В) ? 1, т.к. ; АВ I В, Р(АВ) ? Р(В)
Р(А/А)=1
ВIА, e Р(А/В)=1

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны
Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны



Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.


Свойства независимых событий.
Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и , и В, .
Если события Н1, Н2, …Нn независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

Формула полной вероятности.
Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий Н1, Н2, …Нn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:

События А1, А2, …Аn называют гипотезами.

Теорема гипотез (формула Байеса).
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2)…Р(НN), а в результате опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:

Пример. На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1) вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того, что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.
№ линии
Количество изготавливаемых микросхем
Вероятность брака
1
25%
5%;
2
35%
4%
3
40%
2%
Рассмотрим события: Н1, Н2,…Нi,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливается i линией; А{изделие с браком}.


Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%


Схема последовательных испытаний Бернулли.
Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие .
Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.
Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.
Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие .
- число различных комбинаций события А
Вероятность каждой отдельной комбинации:
Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз:
- условие нормировки.
Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.
N=8 p=0.25 q=0.75




Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:
np-q ? k0 ? np+q
Если число (np+q) нецелое, то k0 – единственное
Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.


Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Предельная теорема Пуассона. При р»0, n-велико, np= l ? 10.


Формула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.



Предельная теорема Муавра-Лапласа.
0 ? p ? 1, n –велико, np>10

- стандартное нормальное распределение

Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.
В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k1 раз и не более k2 раз:

- функция Лапласа

Следствие:



Пример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей. Выбранная деталь с вероятностью р=0,975 является стандартной.
Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:
K0=np=975

Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается от k0 не более чем на 10.


С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей среди проверенных.



Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартные детали составят не менее 95%.
0,95n ? k ? n
P(0,95n ? k ? n)=0.9999 = Ф(х2)- Ф(х1) =

n=3.92*39=594
при р=0,9999 n=594
при р=0,999 n=428
при р=0,99 n=260

Раздел 3. Случайные величины и распределение вероятностей.
Случайная – величина, которая в ходе опыта принимает то или иное значение из возможных своих значений, меняющееся от опыта к опыту и зависящее от множества непредсказуемых факторов.
Если случайные события характеризуют процесс качественно, то случайная величина – количественно.
Случайная величина – численная функция, задаваемая на множестве элементарных событий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.
Дискретная случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное или бесконечное) множество значений.
Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которой образуют несчетные множества. (Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули в Нижнем Новгороде).
Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениям вероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.
Случайная величина может быть задана несколькими способами:
1. Табличный.
Х
a1
a2

аn
Р
p1
p2

pn

Значения случайных величин в таблице ранжируются, т.е. указываются в порядке возрастания.
Недостпаток табличного способа в том, что он пригоден только для случайных величин, принимающих небольшое количество значений.

2. Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения.
Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.
Х
a1
a2
a3

аn-1
Р
p1
p2
p3

pn-1
F(x)
p1
p1+p2
p1+p2+p3

p1+p2+…+pn-1

При увеличении значения случайной величины, количество ступенек функции F(х) возрастает, уменьшается их высота и в пределе при получаем гладкую непрерывную функцию F(х).
Свойства функции F(х).
Неотрицательна. 0? F(х)?1
Неубывающая F(х2)> F(х1) при х2>х1

Р(a<x<b) = F(a) – F(b) Вероятность того, что значение х попадет в интервал (а,b) определяется разностью значений функции на концах интервала.

Наряду с F(х) вводится f(x) - функция плотности вероятности или дифференциальный закон распределения:


Свойства функции f(x):
Неотрицательна. (т.к. F(x) неубывающая, f(x)?0)
Площадь фигуры под кривой на интервале (a,b) равна:


- условие нормировки функции f(x).

Основные дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретные случайные величины (ДСВ).
Биноминальная случайная величина x{0,1,2,3…n}
, p+q=1, 0<p<1

Пуассоновская случайная величина x{0,1,2,3…}


Бернуллиевая случайная величина

Равномерное распределение

Непрерывные случайные величины (НСВ).
Равномерное распределение




Треугольное распределение Симпсона



3. Экспоненциальное (показательное) распределение. Имеет важное значение в теории массового обслуживания и теории надежности.


l - интенсивность.



Нормальный закон распределения.
, s>0
s=1, m=0 – нормальное стандартное распределение (m-мат. ожидание)
- такой подстановкой любое нормальное распределение приводится к стандартному.
При фиксированном s и изменяющемся m, кривая двигается вдоль Ох, не изменяя формы.
При фиксированном m и изменяющемся s (s1<s2<s3), кривая вытягивается вдоль оси ординат, но площадь фигуры под каждой кривой = 1.

Функция Лапласа:


Операции со случайными величинами
Со случайными величинами, рассмотренными на одном и том же интервале исходов опыта, можно обращаться как с обычными числами и функциями.
X:
X
a1
a2

an
p
p1
p2

pn
Y=j(x)
Нужно найти закон распределения СВ Y. yk=j(ak), где k=1,2,…,n.
P(y=yk)=P(x=ak)=Pk
Если все значения СВ Y различны, то их надо проранжировать и указать соответствующие вероятности.
Если СВ Y принимает совпадающие значения, то их надо объединить под общей вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей, а после в ранжированном виде привести в таблице.
X={0,1,2,…,9}, P(x=k)=0.1, k=0,1,…,9, Y=x2, Z=(x-5)2.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Py
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
Z
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
Pz
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1

Закон распределения СВ Z:
Z
0
1
4
9
16
25
Pz
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.1

Бинарные операции (с несколькими величинами)
СВ X,Y заданы в 1 опыте.
Исход опыта
E1
E2

En
Вероятность исхода
P1
P2

Pn
X
X1
X2

Xn
Y
Y1
Y2

Yn
Z=j(XY)
Z1
Z2

Zn
Сложнее, если СВ задана только своим распределением:
X
a1
a2

an
Р
p1
p2

pn

Y
b1
b2

стр. 1
(общее количество: 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>