<< Пред. стр.

стр. 24
(общее количество: 44)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

В процессе корреляционно-регрессионного анализа рассчитывает-
ся ряд основных параметров. Их характеристика и оптимальные зна-
чения приведены в табл. 36.




228
Таблица 36
Конечные результаты корреляционно-регрессионного анализа
Оптимальное
Параметр Характеристика
значение
1 2 3

Объем выборки Количество данных по фактору. Не менее чем в
Применяется для установления 3–5 раз больше
тенденций изменения фактора количества
факторов
Коэффициент Уровень отклонения значений Меньше 33 %
вариации факторов от средней анализируемой
совокупности
Коэффициент Характеризует тесноту связи между Больше 0,1
парной корреля- i-м фактором и функцией. Применяет-
ции ся для отбора факторов
Коэффициент Характеризует тесноту связи между Чем меньше,
частной корреля- факторами. Применяется для отбора тем лучше
ции факторов модель
Коэффициент Характеризует тесноту связи одно- Больше 0,7
множественной временно между всеми факторами и
корреляции функцией. Применяется для выбора
модели
Коэффициент Характеризует степень влияния Больше 0,5
множественной на функцию включенных в модель
детерминации факторов. Равен квадрату коэффици-
ента множественной корреляции
Коэффициент Характеризует степень отклонения Метод наимень-
асимметрии фактического распределения случай- ших квадратов
ных наблюдений от нормального по может при-
центру распределения. Применяется меняться при
для проверки нормальности распреде- коэффициенте
ления асимметрии
меньше 3,0
Коэффициент Характеризует плосковершинность Меньше 3,0
эксцесса м распределения случайных наблюде-
ний от нормального по центру распре-
деления. Применяется для проверки
нормальности распределения функции




229
Окончание табл. 36

1 2 3
Критерий Характеризует значимость уравнения Должен быть
Фишера регрессии. Применяется для выбора больше таблич-
моделей ного значения,
установленного
для различных
размеров
матрицы и
вероятностей
Критерий Характеризует существенность Больше 2,0
Стьюдента м факторов, входящих в модель. (при вероятнос-
Применяется для выбора модели ти, равной 0,95)
Среднеквадрати- Характеризует точность полученных В два и более
ческая ошибка коэффициентов регрессии. Применя- раза меньше
коэффициента ется для оценки коэффициентов соответствую-
регрессии м регрессии щего коэффици-
ента регрессии
Ошибка аппрок- Характеризует допуск прогноза или Меньше
симации степень несоответствия эмпирической (точнее) 15 %
зависимости теоретической. Приме-
няется для оценки точности модели
Коэффициент Показывает, на сколько процентов Больше 0,01
эластичности изменяется функция при изменении
соответствующего фактора на 1 %.
Применяется для ранжирования
факторов по их значимости




40. Характеристика методов линейного программирования
Линейное программирование — это наука о методах нахождения
экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой
наложены линейные ограничения.
Методы линейного программирования применяются для решения
задач оптимизации математических моделей различных экономичес-
ких систем. Эти задачи имеют множество альтернативных вариантов
решений и определенные ограничения.
Общий вид задачи, которая решается с помощью методов линей-
ного программирования:

230
1. Целевая функция — это параметр оптимизации, который харак-
теризует степень достижения цели системы, выраженный линейной за-
висимостью
F(Xj) = C1X1 + C2X2 +...+ CnXn > max или min,
где Сj (j = 1, n) — константы, характеризующие параметры системы,
которые определяют степень влияния переменных на значение пара-
метра оптимизации; Xj — переменные системы, значение которых мож-
но изменять для оптимизации системы.
Пределы изменения переменных определяются внешними фактора-
ми и параметрами системы и отражаются системой ограничений.
2. Система ограничений — совокупность всех ограничений, выра-
женных линейными уравнениями и неравенствами, которые наклады-
ваются на переменные системы:
A11X1 + A12X2 + A13X3 +...+ A1nXn = > < B1
A21X1 + A22X2 + A23X3 +...+ A2nXn = > < B2
.................................................................
Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 +...+ AmnXn = > < Bm,
Xj = >0, j = 1, n,
где Aij, Bi (j = 1, n; i = 1, m) — константы, характеризующие внешние
факторы и параметры системы.
3. Допустимый план решения задачи — совокупность значений пе-
ременных Xj, которые удовлетворяют систему неравенств.
4. Область определения задачи — совокупность всех допустимых
планов задачи.
5. Оптимальный план — это такой допустимый план, при котором
целевая функция достигает своего экстремального значения (максиму-
ма или минимума в зависимости от целей системы). Оптимальный план
является решением задачи. Найти оптимальный план — значит ре-
шить задачу. Целью применения методов линейного программирова-
ния как раз и является нахождение оптимального плана.
Таким образом, методы линейного программирования позволяют
выбрать из множества альтернативных решений оптимальное, кото-
рое обеспечивает максимальное достижение цели системы.
Основные типы задач, которые решаются с помощью методов ли-
нейного программирования:
• задачи оптимального распределения ресурсов;
• задачи определения оптимальных питательных рационов;
• транспортная задача.

231
Методы линейного программирования более широко рассматрива-
ются в курсах “Математическое программирование” и “Исследова-
ние операций и методы оптимизации”.

41. Характеристика метода решения транспортной задачи
Транспортная задача — это нахождение такого плана перевозок
груза от поставщиков к потребителям, при котором транспортные из-
держки будут минимальными.
Метод решения транспортной задачи рассмотрим на следующем
примере.
Задача. Четыре предприятия для производства своей продукции
получают сырье от трех поставщиков. Запасы сырья у поставщиков:
у 1-го — 160 ед., у 2-го — 140, у 3-го — 170 ед. Потребности предпри-
ятий в сырье: 1-е — 120 ед., 2-е — 50, 3-е — 190, 4-е — 110 ед. Тари-
фы перевозок сырья от поставщиков к предприятиям представлены в
табл. 37.
Таблица 37
Тарифы перевозок сырья от поставщиков к предприятиям, грн.

Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3 Предприятие 4

Поставщик 1 7 8 1 2
Поставщик 2 4 5 9 8

Поставщик 3 9 2 3 6


Необходимо найти такой план перевозок, при котором общая сум-
ма транспортных издержек будет минимальной.
Решение. Сначала проверим, является ли данная транспортная за-
дача открытой или закрытой. Для этого сравниваем сумму потребно-
стей предприятий с суммой возможностей поставщиков. Если суммы
равны, то задача является закрытой, если же нет, то открытой. Откры-
тую задачу необходимо привести к закрытой. Для этого в случае пре-
вышения возможностей поставщиков над потребностями предприятий
вводят фиктивное предприятие, потребность которого равна разнице
сумм возможностей поставщиков и потребностей предприятий, тариф
перевозок от поставщиков к фиктивному предприятию принимают
равным m (m = 1000000), а в случае превышения потребностей пред-
приятий над возможностями поставщиков вводят фиктивного постав-

232
щика, возможность которого равна разнице сумм потребностей пред-
приятий и возможностей поставщиков, тариф перевозок от фиктивно-
го поставщика к предприятиям принимают равным нулю. В нашем
примере задача является закрытой (160 + 140 + 170 = 120 + 50 + 190 +
+ 110 = 470). Затем решают задачу по следующему алгоритму:
1. Составляют математическую модель задачи: целевую функцию
и систему ограничений.
2. Методом северо-западного угла или минимального тарифа на-
ходят первоначальный план перевозок.
3. Распределительным методом или методом потенциалов находят
оптимальный план перевозок.
В результате решения задачи получаем оптимальный план перево-
зок сырья (табл. 38).
Таблица 38
Оптимальный план перевозок сырья, ед.

Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3 Предприятие 4

Поставщик 1 50 110
Поставщик 2 120 20

Поставщик 3 30 140


Цифры показывают, какое количество сырья поставляется от со-
ответствующего поставщика соответствующему предприятию.
При таком плане перевозок сырья транспортные издержки будут
минимальными:
F(X)min = 50?1 + 110?2 + 120?4 + 20?5 + 30?2 + 140?3 = 1330 (грн.).
На практике транспортная задача, как правило, решается с при-
менением ЭВМ.
Методы решения транспортной задачи более широко рассматри-
ваются в курсах “Математическое программирование” и “Исследо-
вание операций и методы оптимизации”.

42. Характеристика методов динамического программирования
Методы динамического программирования применяются при реше-
нии оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограни-
чения, или же первое и второе одновременно, характеризуются нели-
нейными зависимостями. Примерами нелинейных зависимостей могут

233
быть: зависимость экономической эффективности деятельности пред-
приятия от масштабов производства; зависимость затрат на производ-
ство партии деталей от количества изделий в партии и др.
Использование в экономическом анализе методов динамического
программирования рассмотрим на следующем примере.
Задача. Инвестор планирует вложить 7 тыс. грн в акции трех пред-
приятий. Стоимость акций предприятий: 1-го — 3 тыс. грн, 2-го —
2 тыс. грн, 3-го — 1 тыс. грн. Прибыль от акций предприятий: 1-го —
7 тыс. грн, 2-го — 5 тыс. грн, 3-го — 2 тыс. грн.
Необходимо найти такой план вложения средств, при котором при-
быль будет максимальной.
Решение. Составим математическую модель задачи:
Xj (j = 1,3) — количество акций j-го предприятия;
F(X) = 7X1 + 5X2 + 2X3 > max — сумма прибыли.
Система ограничений:
3X1 + 2X2 + X3 ? 7;
Xj ? 0, j = 1,3;
Xj ? Z, j = 1,3.
Решение задачи разбивается на три этапа, на каждом из которых
соответственно определяется максимальная прибыль от вложения
средств в акции 1-го предприятия; 1-го и 2-го, а затем 1-го, 2-го и 3-го
предприятий. Для этого используем следующее рекуррентное соотно-
шение:
fn(Z) = max[XnCn + fn (Z) – f(Z – XnAn)],
0 ? Xn ? [Z/An],
где fn(Z) — максимальная прибыль от вложения Z средств в акции
1-го, 2-го,…, n-го предприятий; Xn — количество акций n-го предпри-
ятия; Cn — прибыль от акций n-го предприятия; An — стоимость акций
n-го предприятия; fn–1(Z – XnAn) — максимальная прибыль от вложе-
ния Z – XnAn средств в акции 1-го, 2-го,…, n–1-го предприятий.
Первый этап. Рассчитаем значения функции f1(Z) для разных зна-
чений Z:
f1(Z) = max 7X1, 0 ? X1 ? [Z/3].
Результаты расчетов приведены в табл. 39.




234
Таблица 39
Результаты расчетов функции f1(Z)

Z 0 1 2 3 4 5 6 7

X1 0 0 0 1 1 1 2 2

f(Z) 0 0 0 7 7 7 14 14


Второй этап. Рассчитаем значения функции f2(Z) для разных зна-
чений Z:
f2(Z) = max[5X2 + f1(Z –2X2)], 0 ? X2 ? [Z/2].
Результаты расчетов приведены в табл. 40.

Таблица 40
Результаты расчетов функции f2(Z)

Z 0 1 2 3 4 5 6 7

X2 0 0 1 0 2 1 3 2

f(Z) 0 0 5 7 10 12 15 17



Третий этап. Поскольку данный этап является завершающим,
рассчитаем значения функции f3(Z) для значения Z = 7:
f3(7) = max[2X3 + f2(7 – Х3)], 0 ? X3 ? [7/1].
В табл. 41 представлены значения функции f3(7) при разных значе-
ниях X3. Необходимо выбрать максимальное значение f3(7) и таким об-
разом определить X3.

Таблица 41
Выбор величины Х3 при известных значениях f3(7)

X3 0 1 2 3 4 5 6 7

f 3 (7) 17 17 16 16 15 15 12 14




235
Максимальная прибыль от вложения 7 тыс. грн в акции 1–3-го
предприятий будет равна 17 тыс. грн, при этом возможны два значе-
ния X3. Это значит, что существует два оптимальных плана вложения
средств.
Результаты расчетов каждого этапа приведены в обобщающей
таблице (табл. 42).
Таблица 42
Обобщающая таблица расчетов

Z f 1(Z) X1 f 2(Z) X2 f 3(Z) X3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 5 1
3 7 1 7 0
4 7 1 10 2
5 7 1 12 1
6 14 2 15 3
7 14 2 17 2 17 0 или 1


Найдем оптимальный план вложения средств при X3 = 0. При этом
7 – 0?3 = 7 тыс. грн вкладываются в акции 1-го и 2-го предприятий;
f2(7) = 17 при X2 = 2, тогда 7 – 2?2 = 3 тыс. грн вкладываются в акции
1-го предприятия; f1(3) = 7 при X1 = 1. Таким образом, получаем сле-
дующий оптимальный план вложения средств:
1 акция 1-го предприятия;
2 акции 2-го предприятия;
3 акции 3-го предприятия.
Найдем оптимальный план вложения средств при X3 = 1. При этом
7 – 1 = 6 тыс. грн вкладываются в акции 1-го и 2-го предприятий; f2(6) =
= 15 при X2 = 3, тогда 6 – 3?2 = 0 тыс. грн вкладываются в акции 1-го
предприятия; f1(0) = 0 при X1 = 0. Таким образом, получаем следую-
щий оптимальный план вложения средств:
0 акций 1-го предприятия;
1 акция 2-го предприятия;
2 акции 3-го предприятия.
Таким образом, методы динамического программирования позво-
ляют выбрать из множества альтернативных решений оптимальное,
которое обеспечивает максимальное достижение поставленной цели.

236
Методы динамического программирования более широко рассмат-
риваются в курсе “Исследование операций и методы оптимизации”.

43. Характеристика теории массового обслуживания
и область ее применения
Теория массового обслуживания впервые применялась в телефо-
нии, а затем в таких областях хозяйственной деятельности, как транс-
порт, сфера услуг, торговля и т. д.
Сущность теории массового обслуживания состоит в том, что на
основе теории вероятностей разрабатывается оценка качества функ-
ционирования системы массового обслуживания (например, можно
оценить работу системы кассовых аппаратов в торговом центре или
магазине).
Общая постановка задачи массового обслуживания.
Имеется некоторая система, предназначенная для обслуживания
поступающих в нее заявок или требований. Система располагает оп-
ределенным количеством рабочих мест или средств обслуживания (ка-
налы обслуживания). Поступление требований в систему и время их
обслуживания носят случайный характер. При этом в системе возни-
кают ситуации, когда:
1) либо образуется очередь требований в ожидании обслужива-
ния;
2) либо простаивают каналы обслуживания.
И то и другое приводит к увеличению издержек обслуживания.
Чтобы не допустить неоправданного увеличения издержек, можно:
1) изменить среднее количество требований, поступающих в сис-
тему в единицу времени;
2) изменить количество каналов обслуживания;
3) изменить оба параметра.
Для того чтобы осуществить эти действия с максимальной эффек-
тивностью, необходимо изучить элементы системы массового обслу-
живания.
Системы массового обслуживания состоят из следующих элемен-
тов:
• входящего потока требований;
• каналов обслуживания;
• очереди требований;
• выходящего потока требований.

237
Тип системы массового обслуживания определяется:
1. Характеристикой входящего потока (последовательность, с ко-
торой требования поступают в систему).
2. Характером распределения времени обслуживания требований.
3. Количеством каналов обслуживания.
4. Порядком образования очереди требований и дисциплиной оче-
редей (порядок поступления требований из очереди на обслужи-
вание).
5. Характеристикой выходящего потока (учитывается в тех слу-
чаях, когда он образует входящий поток для другой системы).
Основные типы систем массового обслуживания:
1. Системы с отказами (потерями) — когда все каналы системы об-
служивания заняты, очередь требований не формируется.
2. Системы с ожиданием:
• системы с неограниченным ожиданием;
• системы с ограниченным ожиданием (ожидание может быть
ограничено временем ожидания в очереди, количеством тре-
бований в очереди и т. д.);
• системы с неограниченным количеством требований;
• системы с ограниченным количеством требований.
Задачи массового обслуживания рассматриваются для действую-
щих и проектируемых систем.
Для действующих систем дают количественную оценку функцио-
нирования системы и ее отдельных элементов, на основании которой
принимают решения, направленные на совершенствование работы си-

<< Пред. стр.

стр. 24
(общее количество: 44)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>