<< . .

. 15
( : 19)



. . >>

U QK
§àò°àò» íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ï°è è±ï®«ü§®âàíèè ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ …vEòèïà
â»øåD ·å¬ ï°è è±ï®«ü§®âàíèè 4àá±®«þòí® ®ïòè¬à«üí»µ4 ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ
uEòèïàD ±«å¤®âàòå«üí®D ïå°â»å íå ®ïòè¬à«üí» â ê«à±±å â±å⮧¬®¦í»µ ±è±òå¬
±òè¬ó«è°®âàíèÿF Á®«åå ò®ã®D ¬®¦í® ï®êà§àòüD ·ò® ï°è R/W > 0 è ±ò°®ã® â»E
ïóê«»µ ôóíêöèÿµ §àò°àò ®òí®øåíèå @UVA ±ò°®ã® ᮫üøå å¤èíèö»F Ï®«ó·åíí»©
¤«ÿ ¬í®ã®ý«å¬åíòí»µ ®°ãàíè§àöè®íí»µ ±è±òå¬ °å§ó«üòàò âﮫíå ±®ã«à±®âàí ± â»E
⮤®¬ ® ò®¬D ·ò® â ®¤í®ý«å¬åíòí»µ ±è±òå¬àµ ýôôåêòèâí®±òü ﰮﮰöè®íà«üí®ã®
±òè¬ó«è°®âàíèÿ íå â»øåD ·å¬ êâà§èꮬïåí±àò®°í®ã®F
Ì®¦í® ±¤å«àòü ±«å¤óþùèå â»â®¤» ®á è±ï®«ü§®âàíèè óíèôèöè°®âàíí»µ ±èE
±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿF ‚®Eïå°â»µD â ¬í®ã®ó°®âíå⻵ àêòèâí»µ ±è±òå¬àµ è±ï®«üE
§®âàíèå óíèôèöè°®âàíí»µ ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ±íè¦àåò èíô®°¬àöè®ííóþ íàE
ã°ó§êó íà óï°àâ«ÿþùèå ®°ãàí»F ‚®Eâò®°»µD èí®ã¤à ýòè ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ
®ê৻âàþò±ÿ ®ïòè¬à«üí»¬èF ‚Eò°åòüèµD ⮧¬®¦í®±òü è±ï®«ü§®âàíèÿ ®áùèµ ¤«ÿ
â±åµ ÀÝ óï°àâ«ÿþùèµ ïà°à¬åò°®â ®ê৻âàåò±ÿ âà¦í®© â ¬åµàí觬ൠï«àíè°®E
âàíèÿ @±¬F ãèï®òå§ó ±«àá®ã® â«èÿíèÿ è ¬åµàí觬» ®òê°»ò®ã® óï°àâ«åíèÿ â ‘20“D
‘38“AF

“íèôèöè°®âàíí»å ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ â À‘ ± àã°åãè°®âàíèå¬
èíô®°¬àöèè ® ¤å©±òâèÿµ ÀÝ. Îïèøå¬D ±«å¤óÿ â ®±í®âí®¬ ‘49“D ô®°¬ó«è°®âêó
è °åøåíèå §à¤à·è ±òè¬ó«è°®âàíèÿ â ¬í®ã®ý«å¬åíòí®© ¤åòå°¬èíè°®âàíí®© À‘D â
ê®ò®°®© öåíò° è¬ååò àã°åãè°®âàííóþ èíô®°¬àöèþ ® °å§ó«üòàòൠ¤åÿòå«üí®±òè n
ÀÝF
‘ò°àòåãèå© ÀÝ ÿâ«ÿåò±ÿ â»á®° ¤å©±òâè©D ±ò°àòåãèå© öåíò°à " â»á®° ôóíêE
öèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿD ò® å±òü §àâè±è¬®±òè ⮧íàã°à¦¤åíèÿ êত®ã® ÀÝ ®ò åã®
¤å©±òâè© èD á»òü ¬®¦åòD ¤å©±òâè© ¤°óãèµ ÀÝ è«è ¤°óãèµ àã°åãè°®âàíí»µ ï®êà§àE
òå«å© èµ ±®â¬å±òí®© ¤åÿòå«üí®±òèF
Ïó±òü °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üí®±òè z ∈ A0 = Q(A ) À‘D ±®±ò®ÿùå© è§ n ÀÝD ÿâ«ÿE
åò±ÿ ôóíêöèå© @í৻âà嬮© ôóíêöèå© àã°åãè°®âàíèÿA èµ ¤å©±òâè©X z = Q(y)F ÈíE
òå°å±» è ï°å¤ï®·òåíèÿ ó·à±òíèê®â À‘ " öåíò°à è ÀÝ " â»°à¦åí» èµ öå«å⻬è
IHT
ôóíêöèÿ¬èF –å«åâàÿ ôóíêöèÿ öåíò°à ÿâ«ÿåò±ÿ ôóíêöè®íà«®¬ ¦(σ, z) è ï°å¤±òàE
â«ÿåò ±®á®© °à§í®±òü ¬å¦¤ó åã® ¤®µ®¤®¬ H(z) è ±ó¬¬à°í»¬ ⮧íàã°à¦¤åíèå¬
n
v(z)D â»ï«à·èâà嬻¬ ÀÝX v(z) = σi (z)D ã¤å σi (z) " ±òè¬ó«è°®âàíèå iEã® ÀÝD
i=1
σ(z) = (σ1 (z), σ2 (z), . . . , σn (z))D ò® å±òü
n
@UWA ¦(σ(·), z) = H(z) ’ σi (z).
i=1

–å«åâàÿ ôóíêöèÿ iEã® ÀÝ ÿâ«ÿåò±ÿ ôóíêöè®íà«®¬ fi (σi , y) è ï°å¤±òàâ«ÿåò ±®E
ᮩ °à§í®±òü ¬å¦¤ó ±òè¬ó«è°®âàíèå¬D ﮫó·à嬻¬ è¬ ®ò öåíò°àD è §àò°àòà¬è
ci (y)D ò® å±òüX

@VHA fi (σi (·), y) = σi (z) ’ ci (y), i ∈ I.

Ï°å¤ï®«®¦è¬D ·ò® öåíò° íàá«þ¤àåò ò®«üê® °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üí®±òè À‘D ®ò
ê®ò®°®ã® §àâè±èò åã® ¤®µ®¤D í® íå §íàåò è íå ¬®¦åò â®±±òàí®âèòü èí¤èâè¤óà«üí»µ
¤å©±òâè© ÀÝD ò® å±òü è¬ååò ¬å±ò® àã°åãè°®âàíèå èíô®°¬àöèè " öåíò° è¬ååò íå
â±þ èíô®°¬àöèþ ® ¤å©±òâèÿµ ÀÝD à å¬ó è§âå±òåí «èøü íåê®ò®°»© èµ àã°åãàò Q(·)F
Îòí®±èòå«üí® ïà°à¬åò°®â À‘ ââå¤å¬ ±«å¤óþùèå ï°å¤ï®«®¦åíèÿD ê®ò®°»åD
屫è íå ®ã®â®°åí® ®±®á®D áó¤å¬ ±·èòàòü â»ï®«íåíí»¬è â µ®¤å â±åã® ï®±«å¤óþùåã®
觫®¦åíèÿ °å§ó«üòàò®â è±±«å¤®âàíèÿ À‘ ± àã°åãè°®âàíèå¬ èíô®°¬àöèèX
À.1. ∀ i ∈ I Ai " ®ò°å§®ê âè¤à [0; ai ]F
À.2. ∀ i ∈ I â»ï®«íÿåò±ÿ
IA ôóíêöèÿ ci (·) íåï°å°»âíà ï® â±å¬ ïå°å¬åíí»¬Y
PA ∀ yi ∈ Ai ci (y) íå óá»âàåò ï® yi Y
QA ∀ y ∈ A ci (y) ≥ 0Y
RA ∀ y’i ∈ A’i ci (0, y’i ) = 0F
À.3. ”óíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ êó±®·í®Eíåï°å°»âí» è ï°èíè¬àþò íå®ò°èöàE
òå«üí»å §íà·åíèÿF
À.4. ”óíêöèÿ ¤®µ®¤à öåíò°à íåï°å°»âíà è ¤®±òèãàåò ¬àê±è¬ó¬à ï°è íåíó«åE
⮬ °å§ó«üòàòå ¤åÿòå«üí®±òè À‘F
À.5. Q : A ’ A0 ⊆ Rm " ®¤í®§íà·í®å íåï°å°»âí®å ®ò®á°à¦åíèåD ã¤å 1 ¤ m <
n @ï°è m ≥ n ±¬»±« àã°åãè°®âàíèÿ òå°ÿåò±ÿAF
Ýôôåêòèâí®±òüþ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ÿâ«ÿåò±ÿ ¬èíè¬à«üí®å §íà·åíèå öå«å⮩
ôóíêöèè öåíò°à íà ±®®òâåò±òâóþùå¬ ¬í®¦å±òâå °åøåíè© èã°» @¬í®¦å±òâå °àâí®E
âå±í»µ ï°è ¤àíí®¬ ±òè¬ó«è°®âàíèè ±ò°àòåãè© ÀÝAX Çà¤à·à ±èíòå§à ®ïòè¬à«üí®©
ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ §àê«þ·àåò±ÿ â ï®è±êå ¤®ïó±ò謮© ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®E
âàíèÿD è¬åþùå© ¬àê±è¬à«üíóþ ýôôåêòèâí®±òüF
Îï°å¤å«è¬ ¬í®¦å±òâ® âåêò®°®â ¤å©±òâè© ÀÝD ï°è⮤ÿùèµ ê §à¤àíí®¬ó °åE
§ó«üòàòó ¤åÿòå«üí®±òè À‘X

Y (z) = {y ∈ A |Q(y) = z} ⊆ A , z ∈ A0 .

‚ ‘49“ ¤®êà§àí®D ·ò® â ±«ó·àå íàá«þ¤à嬻µ ¤å©±òâè© ÀÝ ¬èíè¬à«üí»å §àò°àò»
öåíò°à íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ï® °åà«è§àöèè âåêò®°à ¤å©±òâè© y ∈ A °àâí» ±ó¬E
¬à°í»¬ §àò°àòଠÀÝ ci (y)F Ï® àíà«®ãèè â»·è±«è¬ ¬èíè¬à«üí»å ±ó¬¬à°í»å
i∈I
IHU
n
˜
§àò°àò» ÀÝ ï® ¤®±òè¦åíèþ °å§ó«üòàòà ¤åÿòå«üí®±òè z ∈ Ao ‘(z) = min ci (y)D
y∈Y (z) i=1
n
à òàê¦å ¬í®¦å±òâ® ¤å©±òâè© Y (z) = Argmin ci (y)D íà ê®ò®°®¬ ýò®ò ¬èíè¬ó¬

y∈Y (z) i=1
¤®±òèãàåò±ÿF
‚âå¤å¬ ±«å¤óþùåå ï°å¤ï®«®¦åíèåF
À.6. ∀ x ∈ A0 , ∀ y ∈ Y (x), ∀ i ∈ I, ∀yi ∈ P rojj Y (x) ôóíêöèÿ cj (yi , y’i ) íå
óá»âàåò ï® yi D j ∈ IF
‚ ·à±òí®±òèD ï°å¤ï®«®¦åíèå À.6 â»ï®«íåí® â ±«ó·àåD ê®ã¤à §àò°àò» êত®ã®
ÀÝ §àâè±ÿò ò®«üê® ®ò åã® ±®á±òâåíí»µ ¤å©±òâè©F
”èê±è°óå¬ ï°®è§â®«üí»© °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üí®±òè x ∈ A0 è ï°®è§â®«üí»© âåêE
ò®° y — (x) ∈ Y — (x) ⊆ Y (x)F
’å®°å¬à 2. Ï°è è±ï®«ü§®âàíèè öåíò°®¬ ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ
ci (y — (x)) + δi , z = x;
@VIA —
i ∈ I,
σix (z) =
z = x,
0,

âåêò®° ¤å©±òâè© ÀÝ y — (x) °åà«è§óåò±ÿ ± ¬èíè¬à«üí»¬è §àò°àòà¬è öåíò°à íà ±òèE
˜
¬ó«è°®âàíèå °àâí»¬è ‘(x)F Ï°è ýò®¬ ±è±òå¬à ±òè¬ó«è°®âàíèÿ @VIA ÿâ«ÿåò±ÿ δE
n
®ïòè¬à«üí®©D ã¤å δ = δi F
i=1
Íà âò®°®¬ øàãå °åøåíèÿ §à¤à·è ±òè¬ó«è°®âàíèÿ íàè᮫åå â»ã®¤í»© ¤«ÿ öåíE
ò°à °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üí®±òè À‘ x— ∈ A0 ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ êàê °åøåíèå §à¤à·è ®ïòèE
¬à«üí®ã® ±®ã«à±®âàíí®ã® ï«àíè°®âàíèÿX
˜
@VPA x— = argmax[H(x) ’ ‘(x)].
x∈A0

Ðà±±¬®ò°è¬ ê«à±± ‚âå¤å¬ ±«å¤óE
óíèôèöè°®âàíí»µ ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿF
þùóþ ôóíêöèþX

@VQA c(y) = max{ci (y)}.
i∈I

Íà ïå°â®¬ øàãå â»·è±«è¬ ¬èíè¬à«üí»å §àò°àò» íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ‘U (z) ï®
°åà«è§àöèè °å§ó«üòàòà ¤åÿòå«üí®±òè z ∈ A0 óíèôèöè°®âàíí®© ±è±ò嬮© ±òè¬ó«èE
°®âàíèÿX
‘U (z) = min c(y).
y∈Y (z)

Ìí®¦å±òâ® âåêò®°®â ¤å©±òâè©D ¬èíè¬è§è°óþùèµ §àò°àò» íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ï®
°åà«è§àöèè °å§ó«üòàòà ¤åÿòå«üí®±òè z ∈ A0 D è¬ååò âè¤X Y — (z) = Argmin c(y)F
y∈Y (z)
Ï® àíà«®ãèè ± ò宰嬮© P ¤®ê৻âàåò±ÿD ·ò® óíèôèöè°®âàííàÿ ±è±òå¬à ±òè¬óE
«è°®âàíèÿ @±°F ± @VIAAX

c(y — (x)), z = x;
@VRA —
i ∈ I,
σix (z) =
z = x,
0,

ã¤å y — (x) " ï°®è§â®«üí»© ý«å¬åíò ¬í®¦å±òâà Y — (x)D °åà«è§óåò °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üE
í®±òè x ∈ A0 ± ¬èíè¬à«üí»¬è â ê«à±±å óíèôèöè°®âàíí»µ ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ
§àò°àòà¬è íà ±òè¬ó«è°®âàíèåF Íà âò®°®¬ øàãå °åøåíèÿ §à¤à·è ±èíòå§à ®ïòè¬à«üE
í®© óíèôèöè°®âàíí®© ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ íà©¤å¬ íàè᮫åå â»ã®¤í»© ¤«ÿ
IHV
öåíò°à °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üí®±òè À‘ x— êàê °åøåíèå §à¤à·è ®ïòè¬à«üí®ã® ±®ã«à±®E
U
âàíí®ã® ï«àíè°®âàíèÿX xU = argmax[H(z) ’ n‘U (z)]F

z∈A0
’å®°å¬à 3. Ýôôåêòèâí®±òü óíèôèöè°®âàíí®ã® ±òè¬ó«è°®âàíèÿ íå â»øåD ·å¬
ýôôåêòèâí®±òü ïå°±®íèôèöè°®âàíí®ã® ±òè¬ó«è°®âàíèÿF
Ȥåÿ ¤®êà§àòå«ü±òâà ò宰嬻 Q §àê«þ·àåò±ÿ â ±«å¤óþùå¬F ”èê±è°óå¬ ï°®E
è§â®«üí»© °å§ó«üòàò ¤åÿòå«üí®±òèF Ðåà«è§óþùàÿ åã® óíèôèöè°®âàííàÿ ±è±òå¬à
±òè¬ó«è°®âàíèÿ @VRA â ±è«ó @VQA µà°àêòå°è§óåò±ÿ íå ¬åíüøè¬è ±ó¬¬à°í»¬è §àE
ò°àòà¬è íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ±® ±ò®°®í» öåíò°àD ·å¬ ±è±òå¬à ïå°±®íèôèöè°®âàíE
íàÿ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ @VIA @òàê êàê ∀ i ∈ ID ∀ y — ∈ A ci (y — ) ¤ c(y — )AF Ï® òå®°å¬å ®
¬èíè¬à«üí»µ §àò°àòൠíà ±òè¬ó«è°®âàíèå ﮫó·àå¬ óòâå°¦¤åíèå ò宰嬻F


“íèôèöè°®âàíí»å °àíã®â»å ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ. ‚ ᮫üøèí±òâå
è§âå±òí»µ ¬®¤å«å© ⮧íàã°à¦¤åíèå ÀÝ §àâè±èò ®ò àá±®«þòí»µ §íà·åíè© èµ ¤å©E
±òâè© èGè«è °å§ó«üòàòà ¤åÿòå«üí®±òèF ‚ ò® ¦å â°å¬ÿ íà ï°àêòèêå ¤®±òàò®·í®
°à±ï°®±ò°àíåí» °àíã®â»å ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ @Б‘AD â ê®ò®°»µ âå«è·èíà
⮧íàã°à¦¤åíèÿ ÀÝ ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ «èá® ï°èíफå¦í®±òüþ ï®êà§àòå«ÿ åã® ¤åÿòå«üE
í®±òè íåê®ò®°®¬ó íàïå°å¤ §à¤àíí®¬ó ¬í®¦å±òâó " òàê í৻âà嬻å í®°¬àòèâí»å
Б‘ @ÍБ‘AD «èá® ¬å±ò®¬D §àíè¬à嬻¬ ÀÝ â óï®°ÿ¤®·åíèè ï®êà§àòå«å© ¤åÿòå«üE
í®±òè â±åµ ý«å¬åíò®â " òàê í৻âàå¬»å ±®°åâí®âàòå«üí»å Б‘ @‘Б‘AF
Ï®¤°®áí»© ®á§®° °å§ó«üòàò®â ®òå·å±òâåíí»µ è §à°óáå¦í»µ àâò®°®â ï® è±±«åE
¤®âàíèþ Б‘ @òó°íè°®â " r—nkEorder tourn—ments " â òå°¬èí®«®ãèè òå®°èè ê®íE
ò°àêò®âA ï°èâå¤åí â ‘43“F Íè¦å ¬» ê°àòê® ®ïèøå¬ °å§ó«üòàò» ±°àâíåíèÿ ýôôåêE
òèâí®±òè óíèôèöè°®âàíí»µ Б‘ ± ýôôåêòèâí®±òüþ ¤°óãèµ ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàE
íèÿF
Ðà±±¬®ò°è¬ ±íà·à«à ÍБ‘D ê®ò®°»å µà°àêòå°è§óþò±ÿ íà«è·èå¬ ï°®öå¤ó°
ï°è±â®åíèÿ °àíã®â ÀÝ â §àâè±è¬®±òè ®ò ï®êà§àòå«å© èµ ¤åÿòå«üí®±òè @â»áè°àE
嬻µ ¤å©±òâè© è òF¤FAF ‚âå¤å¬ ±«å¤óþùèå ï°å¤ï®«®¦åíèÿD ê®ò®°»å áó¤å¬ ±·èE
òàòü â»ï®«íåíí»¬è íà ï°®òÿ¦åíèè íà±ò®ÿùåã® Ï°è«®¦åíèÿ @®òêà§àâøè±ü ®ò â±åµ
ï°å¤ï®«®¦åíè©D ââå¤åíí»µ â»øåAF
À.1. Ìí®¦å±òâà Ai ⮧¬®¦í»µ ¤å©±òâè© ÀÝ ±®âïà¤àþòX Ai = A = R1 , i ∈ IF
+
À.2. ”óíêöèè §àò°àò ÀÝ ¬®í®ò®íí»F À.3. Çàò°àò» ®ò â»á®°à íó«åâ®ã® ¤å©E
±òâèÿ °àâí» íó«þF
Ïó±òü J = {1, 2, . . . , m} " ¬í®¦å±ò⮠⮧¬®¦í»µ °àíã®âD ã¤å m " °à§¬å°í®±òü
ÍБ‘D {qj }i∈J " ±®â®êóïí®±òü m íå®ò°èöàòå«üí»µ ·è±å«D ±®®òâåò±òâóþùèµ â®§E
íàã°à¦¤åíèÿ¬ §à 4ï®ïà¤àíèå4 ⠰৫è·í»å °àíãèY δi : Ai ’ J D i = 1, n " ï°®öåE
¤ó°» ê«à±±èôèêàöèèF Í®°¬àòèâí®© °àíã®â®© ±è±ò嬮© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ @ÍБ‘A
í৻âàåò±ÿ ê®°òå¦ {m, J , {δi }, {qj }}F
‚ °àá®òå ‘74“ ¤®êà§àí®D ·ò® ¤«ÿ «þᮩ ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ±óùå±òâóåò
ïå°±®íèôèöè°®âàííàÿ @± °à§«è·í»¬è ï°®öå¤ó°à¬è ï°è±â®åíèÿ °àíã®â ¤«ÿ °à§E
«è·í»µ ÀÝA ÍБ‘ íå ¬åíüøå© ýôôåêòèâí®±òèF
’®D ·ò® öåíò° è±ï®«ü§óåò °à§«è·í»å ï°®öå¤ó°» ï°è±â®åíèÿ °àíã®âD ¬®¦åò ï®E
êà§àòü±ÿ íå±ï°àâ夫è⻬ ± ò®·êè §°åíèÿ ÀÝF „婱òâèòå«üí®D íàï°è¬å°D â»áè°àÿ
®¤èíàê®â»å ¤å©±òâèÿD ¤âà ÀÝ ¬®ãóò è¬åòü °à§«è·í»å °àíãè èD ±«å¤®âàòå«üí®D ï®E
«ó·àòü °à§«è·í»å ⮧íàã°à¦¤åíèÿF Á®«åå ±ï°àâ夫è⮩ ï°å¤±òàâ«ÿåò±ÿ ÍБ‘D
IHW
â ê®ò®°®© ï°®öå¤ó°à ê«à±±èôèêàöèè ®¤èíàê®âà ¤«ÿ â±åµ ÀÝD ò® å±òü òàê í৻E
âàå¬àÿ óíèâå°±à«üíàÿ ÍБ‘D ï°è è±ï®«ü§®âàíèè ê®ò®°®© ý«å¬åíò»D â»á°àâøèå
®¤èíàê®â»å ¤å©±òâèÿD ﮫó·àþò ®¤èíàê®â»å ⮧íàã°à¦¤åíèÿF
‚âå¤å¬ âåêò®° Y = (Y1 , Y2 , . . . , Ym )D òàꮩD ·ò®
0 ¤ Y 1 ¤ Y 2 ¤ . . . ¤ Y m < +∞,
ê®ò®°»© ®ï°å¤å«ÿåò íåê®ò®°®å °à§áèåíèå ¬í®¦å±òâà eF “íèâå°±à«üíàÿ ÍБ‘ §àE
¤àåò±ÿ ê®°òå¦å¬ {m, {Yj }, {qj }}D ï°è·å¬ ⮧íàã°à¦¤åíèå iEã® àêòèâí®ã® ý«å¬åíòà
σi ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬X
m
qj I(yi ∈ [Yj , Yj+1 )),
σi (yi ) =
j=0

ã¤å I(·) " ôóíêöèÿEèí¤èêàò®°D Y0 = 0D q0 = 0F “íèâå°±à«üíàÿ ÍБ‘ í৻âàåò±ÿ
ï°®ã°å±±èâí®©D 屫è q0 ¤ q1 ¤ q2 ¤ . . . ¤ qm F
‘⮩±òâà ®ïòè¬à«üí®© “ÍБ‘ è à«ã®°èò¬» åå ï®±ò°®åíèÿ ï°èâå¤åí» â ‘5“F
’ଠ¦å ¤®êà§àí®D ·ò® â °à¬êൠ±«å¤óþùåã® ï°å¤ï®«®¦åíèÿ
À.4. ‘óùå±òâóåò óï®°ÿ¤®·åíèå ÀÝ ý«å¬åíò®âD òàê®åD ·ò®
@VSA ∀ y ∈ A c1 (y) ≥ c2 (y) ≥ . . . ≥ cn (y) > 0
â»ï®«íÿåò±ÿ
’å®°å¬à 4. …±«è â»ï®«íåí» ï°å¤ï®«®¦åíèÿ À.1EÀ.4D ò®X
àA â ê«à±±å “ÍБ‘ °åà«è§ó嬻 òàêèå è ò®«üê® òàêèå ¤å©±òâèÿD ê®ò®°»å ó¤®E
â«åòâ®°ÿþò 󱫮âèþ
@VTA — — —
y1 ¤ y2 ¤ . . . ¤ yn ;
áA ®ïòè¬à«üí®å °åøåíèå §à¤à·è ±òè¬ó«è°®âàíèÿ å±òüX
i
@VUA — —
(cj (yj ) ’ cj (yj’1 )), i ∈ I;
qi =
j=1

âA ï°åâ»øåíèå §àò°àòà¬è íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ¬èíè¬à«üí® íå®áµ®¤è¬»µ ®ï°åE
¤å«ÿåò±ÿ
@VVA ∆(“ÍБ‘, QK) = ‘“ÍБ‘ (y — ) ’ ‘QK (y — ) =
n i
— — —
(cj (yj ) ’ cj (yj’1 )) ’ ci (yi’1 ) ;
=
i=1 j=1

ãA ®ïòè¬à«üíàÿ “ÍБ‘ ÿâ«ÿåò±ÿ ï°®ã°å±±èâí®©F
Îò¬åòè¬D ·ò® â»øå ®ïè±àí» “ÍБ‘ °à§¬å°í®±òè nF —à±ò»¬ ±«ó·àå¬ “ÍБ‘
ÿâ«ÿþò±ÿ óíèôèöè°®âàíí»å ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ‘Eòèïà @“ÍБ‘ °à§¬å°E
í®±òè IAF Ï®ýò®¬ó °à±±¬®ò°è¬ §à¤à·ó @ïå°â®ã® °®¤àA ±èíòå§à óíèôèöè°®âàíí®©
±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿD â ê®ò®°®© öåíò° íà§íà·àåò ®áùè© ¤«ÿ â±åµ ÀÝ ï«àí è
è±ï®«ü§óåò óíèôèöè°®âàííóþ ±è±òå¬ó ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ‘Eòèïà è«è uEòèïà ‘5“F
Ïó±òü â»ï®«íåí® ï°å¤ï®«®¦åíèå À.1 è öåíò° ¤®«¦åí íà§íà·èòü óíèôèöè°®E
âàííóþ ±è±òå¬ó ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ‘Eòèïà ± ®¤íè¬ 4±êà·ê®¬4X
C, yi ≥ x;
@VWA σ(x, yi ) =
0, yi < x,
IIH
ã¤å C " íåê®ò®°àÿ íå®ò°èöàòå«üíàÿ âå«è·èíàD x " ®áùè© ¤«ÿ â±åµ ÀÝ ï«àíF
‚âå¤å¬ ±«å¤óþùåå ï°å¤ï®«®¦åíèåX
À.5. ‘óùå±òâóåò óï®°ÿ¤®·åíèå ÀÝD òàê®åD ·ò®

@WHA ∀ y ∈ A c1 (y) ≥ c2 (y) ≥ . . . ≥ cn (y).

Îᮧíà·è¬ P (x, C) " ¬í®¦å±òâ® òåµ ÀÝD ó ê®ò®°»µ §àò°àò» â ò®·êå x íå
ï°åâ»øàþò CD ò® å±òü òàêèµ ý«å¬åíò®âD ê®ò®°»¬ â»ã®¤í® â»ï®«íåíèå ï«àíà
x : P (x, C) = {i ∈ I|ci (x) ¤ C}F
ȧ À.5 ±«å¤óåòD ·ò® P (x, C) = {k(x, C), . . . , n}D ã¤å ôóíêöèÿ k(x, C) = min{i ∈
I|ci (x) ¤ C}F ÀÝ è§ ¬í®¦å±òâà

Q(x, C) = {1, 2, . . . , k(x, C) ’ 1}

â»ï®«íåíèå ï«àíà x ï°è ⮧íàã°à¦¤åíèè C íåâ»ã®¤í® ﮱꮫüêó ∀ x ∈ A, ∀ C ≥ 0

P (x, C) © Q(x, C) = …, P (x, C) ∪ Q(x, C) = I,

è ®íè â»áå°óò ¤å©±òâèÿD ¬èíè¬è§è°óþùèå §àò°àò» @â °à¬êൠï°å¤ï®«®¦åíèÿ À.3
" ¤å©±òâèÿD °àâí»å íó«þAF
’®ã¤à ¤å©±òâèÿ {yi }D °åà«è§óå¬»å ±è±ò嬮© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ @VWAD ó¤®â«åòâ®E


°ÿþòX

x, i ≥ k(x, C);
@WIA —
yi (x, C) =
0, i < k(x, C).

‘ó¬¬à°í»å §àò°àò» íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ï°è è±ï®«ü§®âàíèè öåíò°®¬ ±è±ò嬻
±òè¬ó«è°®âàíèÿ @VWA °àâí»

@WPA ‘(x, C) = C(N ’ k(x, C) + 1).

Çàâè±è¬®±òü yi (x, C) íå ÿâ«ÿåò±ÿ íåï°å°»âí®©F Ï®ýò®¬ó ¤«ÿ êত®ã® x ∈ A ±óE


ùå±òâóåò ê®íå·í®å ·è±«® ¬èíè¬à«üí»µ §àò°àò íà ±òè¬ó«è°®âàíèåD ï°è ê®ò®°»µ
觬åíÿåò±ÿ ·è±«® ÀÝD â»ï®«íÿþùèµ ï«àí x : {c1 (x), c2 (x), . . . , cN (x)}F Àíà«®E
ãè·í®D ¤«ÿ ôèê±è°®âàíí®ã® C ï°è íåï°å°»âí»µ è ±ò°®ã® ¬®í®ò®íí»µ ôóíêöèÿµ
§àò°àò ÀÝ ±óùå±òâóåò ê®íå·í®å ·è±«® ï«àí®â {c’1 (C)}F
i
Îáùè© @¤«ÿ ±«ó·àÿD ±®®òâåò±òâóþùåã® À.5A à«ã®°èò¬ °åøåíèÿ §à¤à·è ±èíòå§à
®ïòè¬à«üí®© óíèôèöè°®âàíí®© ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ï°èâå¤åí â ‘5“F Íè¦å ¬»
±°àâíè¬ ¬èíè¬à«üí»å §àò°àò» íà ±òè¬ó«è°®âàíèåF
”èê±è°óå¬ ï°®è§â®«üí»© ï«àí x ∈ AF „«ÿ ò®ã® ·ò®á» â±å ÀÝ â»á°à«è ¤å©E
±òâèÿD ±®âïà¤àþùèå ± ï«àí®¬D íå®áµ®¤è¬®D ·ò®á» k(x, C) = 1D ò® å±òü C = c1 (x)F
’®ã¤à è§ @VWAE@WPA ﮫó·àå¬D ·ò® ¬èíè¬à«üí»å §àò°àò» íà ±òè¬ó«è°®âàíèå °àâí»
@íàﮬíè¬D ·ò® èí¤åê± 4U 4±®®òâåò±òâóåò óíèôèöè°®âàíí»¬ ±è±òå¬à¬è ±òè¬ó«èE
°®âàíèÿA ‘U QK (x) = N c1 (x)F ‘«å¤®âàòå«üí®D ï®òå°è â ýôôåêòèâí®±òè @ï® ±°àâíåE
íèþ ± ±è±òå¬à¬è ±òè¬ó«è°®âàíèÿ uEòèïàA ±®±òàâ«ÿþòX
n
@WQA ∆(x) = ‘U QK (x) ’ ‘QK (x) = (N ’ 1)c1 (x) ’ ci (x).
i=2

III
‘®°åâí®âàòå«üí»å °àíã®â»å ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ. ‚ ÍБ‘ öåíò°
ôèê±è°®âà« ï°®öå¤ó°ó ê«à±±èôèêàöèèD ®ï°å¤å«ÿÿ ¬í®¦å±òâà ¤å©±òâè© è«è °åE
§ó«üòàò®â ¤åÿòå«üí®±òèD ï°è ï®ïà¤àíèè â ê®ò®°»å ÀÝ ï®«ó·à« §à¤àíí®å ⮧íàE
ã°à¦¤åíèåF ‚ ®ò«è·èå ®ò ÍБ‘D â ±®°åâí®âàòå«üí»µ °àíã®â»µ ±è±òå¬àµ ±òè¬ó«èE
°®âàíèÿ @‘Б‘A öåíò° ôèê±è°óåò ï°®öå¤ó°ó ±°àâíèòå«üí®© ®öåíêè ¤åÿòå«üí®±òè
ÀÝD §à¤àåò ·è±«® ê«à±±®â è ·è±«® ¬å±ò â êত®¬ è§ ê«à±±®âD à òàê¦å âå«è·èí»
ï®®ù°åíè© ÀÝD ï®ïàâøèµ â ò®ò è«è èí®© ê«à±±F ’àêè¬ ®á°à§®¬D ⠑Б‘ èí¤èE
âè¤óà«üí®å ï®®ù°åíèå ÀÝ íå §àâè±èò íåï®±°å¤±òâåíí® ®ò àá±®«þòí®© âå«è·èí»
â»á°àíí®ã® è¬ ¤å©±òâèÿD à ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ òå¬ ¬å±ò®¬D ê®ò®°®å ®í §àíÿ« â óï®°ÿ¤®E
·åíèè ï®êà§àòå«å© ¤åÿòå«üí®±òè â±åµ ÀÝF ‘«å¤®âàòå«üí®D ‘Б‘ ï® ®ï°å¤å«åíèþ
ÿâ«ÿþò±ÿ óíèôèöè°®âàíí»¬è ±è±òå¬à¬è ±òè¬ó«è°®âàíèÿF
‘Б‘ è±±«å¤®âà«è±ü êàê â òå®°èè àêòèâí»µ ±è±òå¬D òàê è â òå®°èè ê®íò°àêE
ò®âF Çà°óáå¦í»å è±±«å¤®âàòå«è àêöåíòè°®âà«è âíè¬àíèå â ®±í®âí®¬ íà àêòèâí»µ
±è±òå¬àµD ôóíêöè®íè°óþùèµ â 󱫮âèÿµ âíåøíå© èíòå°âà«üí®© íå®ï°å¤å«åíí®±òè
è ±è¬¬åò°è·í®© èíô®°¬è°®âàíí®±òèD ®ã°àíè·èâàÿ±ü â ᮫üøèí±òâå ±«ó·àåâ «èá®
¤âóµý«å¬åíòí»¬è ±è±òå¬à¬èD «èá® ±«ó·àå¬ è¤åíòè·í»µ ÀÝF ‚ °àá®òൠ°®±±è©±êèµ
àâò®°®â ï®±ò°®åí» ®ïòè¬à«üí»å ‘Б‘ ¤«ÿ °ÿ¤à ï°àêòè·å±êè âà¦í»µ ·à±òí»µ
±«ó·àåâD â ò®¬ ·è±«å " °à±±¬àò°èâà嬻µ íè¦å «èíå©í»µ ôóíêöèÿµ §àò°àò ÀÝ è
ôóíêöèÿµ §àò°àò âè¤à ci (yi ) = ki c(yi )F ’ଠ¦å ï®êà§àí®D ·ò® â ±«ó·àå èíòå°âà«üE
í®© íå®ï°å¤å«åíí®±òè @íå§íàíèè öåíò°®¬ è±òèíí»µ §íà·åíè© ïà°à¬åò°®â {ki }A
‘Б‘ ¬®ãóò á»òü ᮫åå ýôôåêòèâí»D ·å¬ ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ±«å¤óþùåã®
n
âè¤àX σi (y) = yi yj F ‘°àâíèòå«üíàÿ ýôôåêòèâí®±òü ‘Б‘ è ¤°óãèµ ±è±òå¬
j=1
±òè¬ó«è°®âàíèÿ è±±«å¤®âà«à±ü â ‘5“F Ï°èâå¤å¬ ®±í®âí»å °å§ó«üòàò»F
Ï°å¤ï®«®¦è¬D ·ò® â àêòèâí®© ±è±òå¬åD ±®±ò®ÿùå© è§ n ÀÝD â»ï®«íåí» ï°å¤E
ﮫ®¦åíèÿ À.1EÀ.5D à öåíò° è±ï®«ü§óåò ±«å¤óþùóþ ±è±òå¬ó ±òè¬ó«è°®âàíèÿX
¤å©±òâèÿD â»á°àíí»å ÀÝD óï®°ÿ¤®·èâàþò±ÿ â ï®°ÿ¤êå ⮧°à±òàíèÿD ï®±«å ·åã®
êত»© è§ ÀÝ ï®«ó·àåò ⮧íàã°à¦¤åíèå qi D ±®®òâåò±òâóþùåå åã® í®¬å°ó â óï®E
°ÿ¤®·åíèè ¤å©±òâè©F Ï®íÿòí®D ·ò® ïå°â»© ÀÝ @è¬åþùè© ¬àê±è¬à«üí»å §àò°àò»
ï°è «þᮬ ¤®ïó±ò謮¬ ¤å©±òâèèA áó¤åò â±åã¤à â»áè°àòü íó«åâ®å ¤å©±òâèåD ï®ýò®E
¬ó ﮫ®¦è¬ ⮧íàã°à¦¤åíèå q1 §à ïå°â®å ¬å±ò® â óï®°ÿ¤®·åíèè ¤å©±òâè© °àâí»¬
íó«þX q1 = 0F
’å®°å¬à 5. …±«è â»ï®«íåí» ï°å¤ï®«®¦åíèÿ À.1EÀ.4D ò® íå®áµ®¤è¬»¬ è ¤®E
±òàò®·í»¬ 󱫮âèå¬ °åà«è§ó嬮±òè âåêò®°à ¤å©±òâè© ÀÝ y — ∈ A â ê«à±±å ‘Б‘
ÿâ«ÿåò±ÿ â»ï®«íåíèå


@WRA — — — —
y0 = 0 ¤ y1 ¤ y2 ¤ · · · ¤ yn ,


ï°è·å¬ ¤àíí»© âåêò®° °åà«è§óå¬ ±«å¤óþùå© ±è±ò嬮© ±òè¬ó«è°®âàíèÿX


i
@WSA qi (y — ) = — —
{cj’1 (yj ) ’ cj’1 (yj’1 )}, i = 1, n,
j=2

IIP
à ï°åâ»øåíèå ±ó¬¬à°í»¬è §àò°àòà¬è íà ±òè¬ó«è°®âàíèå ¬èíè¬à«üí® íå®áµ®¤èE
¬»µ °àâí®X
n i
@WTA —
(kj’1 ’ kj )c(yj ) ≥ 0,
∆(‘Б‘, QK) =
i=2 j=2

·ò® ÿâ«ÿåò±ÿ ®öåíꮩ ±°àâíèòå«üí®© ýôôåêòèâí®±òè ‘Ð‘‘F
Ȭåÿ â»°à¦åíèÿ @WSA è @WTAD ¬®¦í® °åøàòü §à¤à·è ±èíòå§à ‘Б‘D ó¤®â«åòâ®E
°ÿþùèµ òå¬ è«è èí»¬ ±â®©±òâà¬FF
ȱﮫü§óÿ @VVA è @WTAD «åãê® ï®«ó·èòü ®öåíêè ±°àâíèòå«üí®© ýôôåêòèâí®±òè
‘Б‘ è “ÍБ‘D à òàê¦å ‘Б‘ è ꮬïåí±àò®°í»µ ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿX
∀y — ∈ A ‘‘Б‘ (y—) ’ ‘“ÍБ‘ (y — ) =
@WUA n i
— — — —
[cj’1 (yj ) ’ cj (yj ) + cj (yj’1 ) ’ cj’1 (yj’1 )] ≥ 0;
=
i=1 j=2


∆(‘Б‘, u) =
@WVA n i
— — —
[cj’1 (yj ) ’ cj (yj’1 )] ’ ci (yi ) ≥ 0.
=
i=1 j=2

‚ §àê«þ·åíèå ®ò¬åòè¬D ·ò® â»øå ï°èâå¤åí® ®áùåå °åøåíèå §à¤à·è ±èíòå§à
®ïòè¬à«üí®© “ÍБ‘F „«ÿ ‘Б‘ °åøåíèå è ®öåíêè ±°àâíèòå«üí®© ýôôåêòèâí®E
±òè íà ±å㮤íÿøíè© ¤åíü ﮫó·åí» «èøü â °à¬êൠ¤®ï®«íèòå«üí»µ ï°å¤ï®«®¦åE
íè© À.3 è À.4 ® ±â®©±òâൠôóíêöè© §àò°àò ÀÝF




IIQ
Ï°è«®¦åíèå 3. Àêòèâí»å ±è±ò嬻 ± íå±ê®«üêè¬è
óï°àâ«ÿþùè¬è öåíò°à¬è (®á§®°)

‚ íà±ò®ÿùå¬ ï°è«®¦åíèè ï°è⮤èò±ÿ ®á§®° °å§ó«üòàò®â è±±«å¤®âàíèÿ À‘D ±®E
±ò®ÿùèµ è§ íå±ê®«üêèµ öåíò°®âF Ï°è ýò®¬ öåíò°» ï»òàþò±ÿ â«èÿòü íà °åøåíèÿ
®¤í®ã® àãåíòàF Ðà§ó¬ååò±ÿD ·ò® öåíò°à¬ íàè᮫åå â»ã®¤í® ¤å©±òâ®âàòü ±®ã«à±®E
âàíí®D ï°å±«å¤óÿ ®áùèå èíòå°å±» @¬àê±è¬è§è°óÿ ±®â¬å±òíóþ ï°èừüAD è §àòå¬
â ï°®öå±±å ò®°ã®â«è °à§¤å«èòü ±®â¬å±òí»© ¤®µ®¤ ¤°óã ± ¤°ó㮬 â ±®®òâåò±òâèè ±
±®ã«à±®âàíí®© ô®°¬ó«®©F Τíàê® å±«è öåíò°» íå ¬®ãóò ±¤å«àòü ýò®ã® @íàï°è¬å°D
ï® ï°è·èíå ±®â¬å±òí®© íåèíô®°¬è°®âàíí®±òè è«è êàê ï® ï°è·èíå íå⮧¬®¦í®E
±òè ±®á«þ¤åíèÿ â§àè¬í»µ ®áÿ§àòå«ü±òâAD ò® ®íè ¤®«¦í» ¤å©±òâ®âàòü íå§àâè±è¬®F
’àêè¬ ®á°à§®¬ ⮧íèêàåò íåê®®ïå°àòèâíàÿ èã°à ¬å¦¤ó öåíò°à¬èD è íå®áµ®¤è¬®
àíà«è§è°®âàòü ﮫó·àþùèå±ÿ ±®âå°øåíí»å ê ﮤ»ã°à¬ °àâí®âå±èÿ ÍýøàD ê®ã¤à

<< . .

. 15
( : 19)



. . >>