<< . .

. 4
( : 19)



. . >>

@IFRSA E yi = y ,
¯
ã¤å M å±òü ¤®ïó±òè¬®å ¬í®¦å±òâ® ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿF
Ðàöè®íà«üí®å ï®âå¤åíèå ÀÝ §àê«þ·àåò±ÿ â â»á®°å íàè«ó·øåã® yi D òFåF
@IFRTA yi ∈ Argmax(σ(t) ’ ci (t)).
t

Ðåøåíèå¬ §à¤à·è @IFRRAE@IFRTA ÿâ«ÿåò±ÿ íàá®° ôóíêöè© @è«è ®¤íà ôóíêöèÿD
å±«è ±è±òå¬à óíèôèöè°®âàííàÿA {σi }n @®ïòè¬à«üí»µ ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿA
i=1
è @ï°è ¤àíí»µ òèïൠàêòèâí»µ ý«å¬åíò®âA íàá®° ¤å©±òâè© ÀÝ {yi }n @®ïòè¬à«üE
i=1
í»µ ¤å©±òâè© àêòèâí»µ ý«å¬åíò®âD ±®ã«à±®âàíí»µ ± ôóíêöèÿ¬è ±òè¬ó«è°®âàíèÿAD
à ±à¬à §à¤à·à í৻âàåò±ÿ §à¤à·å© ±èíòå§à ®ïòè¬à«üí®© ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿF
Îïòè¬à«üí»¬è áó¤å¬ í৻âàòü ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ @±è±ò嬻 ±òè¬ó«èE
°®âàíèÿA àêòèâí»µ ý«å¬åíò®âD ê®ò®°»å ÿâ«ÿþò±ÿ °åøåíèå¬ §à¤à·è @IFRRAE@IFRTAD
PU
°åà«è§ó嬻å àêòèâí»¬è ý«å¬åíòà¬è ¤å©±òâèÿ ï°è ®ïòè¬à«üí®© ±è±òå¬å ±òè¬ó«èE
°®âàíèÿ òàê¦å í৻âàòü ®ïòè¬à«üí»¬èF
Ë嬬à 1.2.3. Çà¤à·à ±èíòå§à ®ïòè¬à«üí®© ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ â À‘Q ±
âå°®ÿòí®±òí®© íå®ï°å¤å«åíí®±òüþ è ꮫè·å±ò⮬ ý«å¬åíò®â n ýêâèâà«åíòíà §à¤àE
·å ±èíòå§à ®ïòè¬à«üí®© ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿ â À‘Q ± âå°®ÿòí®±òí®© íå®ï°åE
¤å«åíí®±òüþ è ± ®¤íè¬ ý«å¬åíò®¬ @è ± óâå«è·åíí»¬ â n °à§ ±°å¤íè¬ ¤å©±òâèå¬AF
‚ ¤à«üíå©øå¬ áå§ ¤®ï®«íèòå«üí»µ ï®ÿ±íåíè© ¬» áó¤å¬ è±ï®«ü§®âàòü òó è«è
èíóþ ¬®¤å«ü àêòèâí®© ±è±ò嬻 â §àâè±è¬®±òè ®ò ï°®±ò®ò» ¤®êà§àòå«ü±òâà â ò®©
è«è èí®© ¬®¤å«èF
„«ÿ óíèôèöè°®âàíí»µ ±è±òå¬ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ®ï°å¤å«è¬ ôóíêöèþ ¤å©±òâèÿ
f : „¦ ’ XD ê®ò®°àÿ áó¤åò èã°àòü âà¦íóþ °®«ü â ï®±«å¤óþùå¬ è§«®¦åíèèD ±«å¤óE
þùè¬ @íå®¤í®§íà·í»¬A ®á°à§®¬X


f (r) ∈ Argmax(σ(x) ’ c(r, x)).
x≥0



„àííàÿ ôóíêöèÿ @ò®·íååD ®¤íà è§ åå °åà«è§àöè©A å±òü ±®®òâåò±òâèå ¬å¦¤ó òèﮬ
ÀÝ è ¤å©±òâèå¬D ê®ò®°®å ®í °åà«è§óåò ï°è ¤àíí®© @óíèôèöè°®âàíí®©A ±è±òå¬å
±òè¬ó«è°®âàíèÿF
’åïå°ü ïå°å©¤å¬ ê ï®±òàí®âêå §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬ óï°àâ«ÿþùåã® §âåE
íàF
ϰ妤å â±åã® §à¬åòè¬D ·ò® ï°è °à±±¬®ò°åíèè àêòèâí»µ ±è±òå¬ ± íå±ê®«üêè¬è
óï°àâ«ÿþùè¬è öåíò°à¬è ±èòóàöèÿ êà°¤èíà«üí® ®ò«è·àåò±ÿ ®ò ±«ó·àÿ àêòèâí®©
±è±ò嬻 ± ®¤íè¬ öåíò°®¬F αí®âí®å ®ò«è·èå ±®±ò®èò â íà«è·èè èã°» ¬å¦¤ó öåíE
ò°à¬èD ï°è·å¬ â ±è«ó èµ â®§¬®¦í»µ ï°®òèâ®ï®«®¦í»µ èíòå°å±®â àêòèâí®¬ó ý«åE
¬åíòó ®ò⮤èò±ÿ ᮫åå âà¦íàÿ °®«üX °àâí®âå±èÿ ï°è íà«è·èè íå±ê®«üêèµ öåíò°®â
µà°àêòå°è§óþò±ÿ òå¬D ·ò® àêòèâí»© ý«å¬åíò ﮫó·àåò íå ò®«üê® ê®¬ïåí±àöèþ
±â®èµ §àò°àò íà °åà«è§àöèþ ¤å©±òâèÿD í® è ¤®ï®«íèòå«üíóþ °åíòó §à ò®D ·ò® íå
â»áè°àåò ¤å©±òâèåD ᮫åå â»ã®¤í®å êàꮬóE«èá® ®¤í®¬ó è§ öåíò°®âF
Ï°è óâå«è·åíèè ꮫè·å±òâà öåíò°®â è ï°è °à±ï°å¤å«åíèè ¤®µ®¤®â àêòèâí®©
±è±ò嬻 ¬å¦¤ó íè¬è ¬í®¦å±òâ® °åà«è§ó嬻µ â àêòèâí®© ±è±òå¬å ± ®¤íè¬ öåíE
ò°®¬ è±µ®¤®â ¬®¦åò á»òü ±è«üí® è§¬åíåí®X ± ®¤í®© ±ò®°®í»D íåè§âå±òí®D áó¤óò
«è °åà«è§ó嬻 @êàê °àâí®âå±èÿA ï°å¦íèå ¤å©±òâèÿD àD ± ¤°ó㮩 ±ò®°®í»D §à ±·åò
èã°» öåíò°®â ¤°óã ± ¤°ó㮬 ¬í®¦å±òâ® °àâí®âå±è© ¬®¦åò °à±øè°èòü±ÿF
‘ïåöèôèêà °àâí®âå±è© â ¬®¤å«è ± íå±ê®«üêè¬è öåíò°à¬è §àê«þ·àåò±ÿ â ±«åE
¤óþùå¬F –åíò°» ¤®«¦í» ¤ó¬àòü ® ±ò°àòåãèÿµ ¤°óã ¤°óãàD èD ®òê«®íÿÿ±ü ®ò ±â®å©
±ò°àòåãèèD ¤®«¦í» ï®íè¬àòüD ·ò® ï°®òèâ íèµ ¬®¦åò á»òü ®á°à§®âàíà ê®à«èöèÿD
öå«üþ ê®ò®°®© ÿâ«ÿåò±ÿ ±¤å«àòü ¤«ÿ àêòèâí®ã® ý«å¬åíòà ᮫åå ï°èâ«åêàòå«üí»¬
°åà«è§àöèþ òàê®ã® è±µ®¤àD ï°è ê®ò®°®¬ ¤®µ®¤» ®òê«®íÿþùåã®±ÿ öåíò°à ừè á»
§íà·èòå«üí® ¬åíüøåD ·å¬ °àíüøåF
ÈòàêD áó¤å¬ °à±±¬àò°èâàòü ¤âóµó°®âíåâóþ àêòèâíóþ ±è±òå¬ó @À‘AD ±®±ò®ÿùóþ
è§ n > 1 öåíò°®â è m ≥ 1 àêòèâí»µ ý«å¬åíò®â @ÀÝAF
Îᮧíà·è¬ ·å°å§ Hp (x) : X ’ R ôóíêöèþ ¤®µ®¤à pEã® öåíò°àD p = 1, nD â
§àâè±è¬®±òè ®ò ¤å©±òâèÿ x ∈ XD °åà«è§®âàíí®ã® â±å© ±è±ò嬮© â öå«®¬D ã¤å X
" ¬í®¦å±ò⮠⮧¬®¦í»µ ¤å©±òâè© ±è±ò嬻D ci (xi ) " ôóíêöèÿ §àò°àò iEã® ÀÝ â
PV
§àâè±è¬®±òè ®ò â»á°àíí®ã® è¬ ¤å©±òâèÿ xi ∈ Xi D ã¤å Xi " ¬í®¦å±ò⮠⮧¬®¦í»µ
¤å©±òâè© iEã® ÀÝD i = 1, mF
„婱òâèå â±å© ±è±ò嬻 §à¤àåò±ÿ êàê íåê®ò®°àÿ ôóíêöèÿ G ®ò ¤å©±òâè© â±åµ
ÀÝ X1 — X2 — . . . — Xm ’ X @§à¬åòè¬D ·ò® â ®áùå¬ ±«ó·àå ¬®¦í® ﮫ®¦èòüX
X = X1 — X2 — . . . — Xm è G(·) " ò®¦¤å±òâåííàÿ ôóíêöèÿAF
Çà¤à·å© êত®ã® è§ öåíò°®â ÿâ«ÿåò±ÿ ¬àê±è¬è§àöèÿ ±â®å© öå«å⮩ ôóíêöèè
m
Hp (G(x1 , x2 , . . . , xm )) ’ σpi (xi )
i=1

ïóòå¬ â»á®°à âåêò®°à ôóíêöè© (σp1 (x1 ), . . . , σpm (xm ))D ã¤å σpi : Xi ’ R+ " ±òè¬óE
1
«è°®âàíèÿ iEã® ÀÝ ï°è â»á®°å è¬ ¤å©±òâèÿ xi D p = 1, nD i = 1, mF
Ï°è¬å¬ ±«å¤óþùè© ï®°ÿ¤®ê ôóíêöè®íè°®âàíèÿ À‘F ‘íà·à«à pE© öåíò°D §íàÿ
ôóíêöèè ci (xi )D i = 1, mD è Hp (x)D í® íå §íàÿD êàêèå ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàE
íèÿ â»áå°óò ¤°óãèå öåíò°» @òFåF öåíò°» â»áè°àþò ±â®è ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®E
âàíèÿ ®¤í®â°å¬åíí®AD §à¤àåò âåêò®°Eôóíêöèþ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ σp (x1 , . . . , xm ) =
(σp1 (x1 ), . . . , σpm (xm ))F
Ï®±«å ±®®áùåíèÿ ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ iE© ÀÝ íà ®±í®âàíèè ôóíêöè© ±òèE
¬ó«è°®âàíèÿ σpi (xi ) è ôóíêöèè §àò°àò ci (xi ) â»áè°àåò íåê®ò®°®å ¤å©±òâèå @è±µ®¤A
xi è§ ¬í®¦å±òâà ±â®èµ ⮧¬®¦í»µ ¤å©±òâè© Xi F ‘·èòàå¬D ·ò® ÀÝ ï°è è§âå±òí»µ
ôóíêöèÿµ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ï®±°å¤±ò⮬ â»á®°à ¤å©±òâèÿ xi ¬àê±è¬è§è°óåò ±â®þ
öå«åâóþ ôóíêöèþ
n
@IFRUA σpi (xi ) ’ ci (xi ) ’ max, i = 1, m
xi
p=1

è êত»© è§ öåíò°®â §íàåò ® ï°àâè«àµ ï®âå¤åíèÿ â±åµ ÀÝF
‚ ±«ó·àåD å±«è ¬àê±è¬ó¬ @IFRUA ¤®±òèãàåò±ÿ â íå±ê®«üêèµ ò®·êàµD áó¤å¬ ï°å¤E
ﮫàãàòüD ·ò® ÀÝ â»áè°àåò ¤å©±òâèå â ±®®òâåò±òâèè ± íåê®ò®°®© ôóíêöèå© Ψi :
2Xi ’ Xi :
n
ã¤å
σpi (xi ) ’ ci (xi )
xi = Ψi Argmax ,
xi ∈Xi p=1
Ψi (A) ∈ A ∀A ⊆ Xi .
…±òå±òâåíí® ï°å¤ï®«®¦èòüD ·ò® pE© öåíò° áó¤åò â»áè°àòü òàêèå ôóíêöèè ±òèE
¬ó«è°®âàíèÿD ·ò®á» ï°è °àöè®íà«üí®¬ â»á®°å ÀÝ ±â®èµ ¤å©±òâè© ¤®±òàâèòü ¬àêE
±è¬ó¬ ±â®å© öå«å⮩ ôóíêöèè
m
Hp (G(x1 , x2 , . . . , xm )) ’ σpi (xi ), p = 1, n.
i=1

Îá®áùàÿ ±êà§àíí®åD §àïèøå¬ ï®°ÿ¤®ê ôóíêöè®íè°®âàíèÿ À‘ ±«å¤óþùè¬
®á°à§®¬X
IA öåíò°» â»áè°àþò ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿY
PA ÀÝ íà ®±í®âàíèè ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ â»áè°àþò ¤å©±òâèÿY
QA â À‘ ®¤í®â°å¬åíí® ï°®è±µ®¤ÿò â±å â»ï«àò»F
Íå®áµ®¤è¬® ®ò¬åòèòüD ·ò® â ¤àíí®© ¬®¤å«è ï°å¤ï®«àãàåò±ÿD ·ò® â±å ó·à±òíèêè
À‘ ±®®áùàþò ¤°óã ¤°óãó ò®«üê® ï°àâ¤ó è â±åã¤à â»ï®«íÿþò ±â®è ®áåùàíèÿ @ï®
â»ï«àòà¬AF
PW
„«ÿ ¤à«üíå©øå㮠觫®¦åíèÿ ®ã°àíè·è¬±ÿ ±«ó·àå¬ m = 1 @â ±è±òå¬å ï°è±óòE
±òâóåò ò®«üê® ®¤èí ÀÝA è ââå¤å¬ ±«å¤óþùèå ï°å¤ï®«®¦åíèÿF
A1. X = X1 å±òü ꮬïàêòí®å ﮤ¬í®¦å±òâ® ¬í®¦å±òâà Rl+ @l ≥ 1AD à G(x1 ) "
ò®¦¤å±òâåííàÿ ôóíêöèÿX
G(x) = x.
A2. ”óíêöèÿ §àò°àò íå®ò°èöàòå«üíà è â±þ¤ó íåï°å°»âíàF
A3. ”óíêöèè ¤®µ®¤à öåíò°®â íå®ò°èöàòå«üí» è â±þ¤ó íåï°å°»âí»F
‚¬å±ò® ï°å¤ï®«®¦åíèÿ A1 ¬®¦í® ï®ò°åá®âàòü @íà°ÿ¤ó ± A2 è A3A §à¬êíóE
ò®±òü ¬í®¦å±òâà X = X1 è ±óùå±òâ®âàíèå òàꮩ ò®·êè x0 D ·ò®
n
ï°è x > x0 .
Hp (x) ’ c(x) < 0
p=1

‚âå¤å¬ ¬í®¦å±òâ® M íå®ò°èöàòå«üí»µ â±þ¤ó ®ï°å¤å«åíí»µ íà X ôóíêöè©
±òè¬ó«è°®âàíèÿ @ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿD ï°è ê®ò®°»µ öåíò°» íå ¬®ãóò íè·åã®
§àáè°àòü ó ÀÝAX
M = {σ(x) : X ’ [0, +∞)}.
‚âå¤å¬ òàê¦å ¬í®¦å±òâ® M ﮫóíåï°å°»âí»µ ±âå°µó ôóíêöè©X
M = {σ(x) : X ’ R :
∀xj ∈ X, xj ’ x, σ(xj ) ≥ σ(¯) ’ σ(xj ) ’ σ(¯)}
x x
¯
@¤«ÿ ¬í®ãèµ ±«ó·àåâ ï°®±ò® íåï°å°»âí®±òü ÿâ«ÿåò±ÿ ±«èøꮬ ¦å±òêè¬ ò°åá®âàE
íèå¬D ê®ò®°®å íå ﮧ⮫èò ¤®êà§àòü ¬í®ãèå °å§ó«üòàò»D â ò® â°å¬ÿ êàê ﮫóíåE
ï°å°»âí®±òè ±âå°µó áó¤åò ¤®±òàò®·í®F Ê ò®¬ó ¦å ·à±ò® è±ï®«ü§ó嬻å êâà§èꮬE
ïåí±àò®°í»å ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ﮫóíåï°å°»âí» ±âå°µóAF
Áó¤å¬ ±·èòàòüD ·ò® ê«à±± ⮧¬®¦í»µ ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ®ã°àíè·åí ïåE
°å±å·åíèå¬ ¬í®¦å±òâ M è M X
M =M ©M ,
òFåF öåíò°» íè·åã® íå §àáè°àþò ó ÀÝ @øò°àô» §àï°åùåí»AD à ò®«üê® ¬®ãóò ï°å¤E
«®¦èòü å¬ó ±òè¬ó«è°®âàíèå §à â»á®° ¤å©±òâèÿD è ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ÿâ«ÿE
þò±ÿ ﮫóíåï°å°»âí»¬è ±âå°µóF
Áó¤å¬ ±·èòàòüD ·ò® ó ÀÝ å±òü ï°àâ® ó·à±òèÿX 屫è ï°è «þᮬ ¤å©±òâèè åã®
öå«åâàÿ ôóíêöèÿ ¬åíüøå íó«ÿ @±òè¬ó«è°®âàíèÿ §à¤àí»AD ò® ®í ¬®¦åò ®òêà§àòü±ÿ
®ò ó·à±òèÿ â À‘F ‚ ýò®¬ ±«ó·àå áó¤å¬ ﮫàãàòü â»èã°»øè öåíò°®â °àâí»¬è íó«þ
@¤å©±òâèå â±å© ±è±ò嬻 íå ®ï°å¤å«åí®AF „«ÿ ýò®ã® ¬®¦í® ï°å¤ï®«®¦èòü íà«è·èÿ
®±®á®© @⮧¬®¦í®D 觮«è°®âàíí®©A ò®·êè xX Hp (ˆ) = 0D p = 1, nD c(ˆ) = 0F ‚»á°àâ
x x
ˆ
ýòó ò®·êóD ÀÝ íè·åã® íå òå°ÿåò @åã® §àò°àò» íó«åâ»åAD è ±òè¬ó«è°®âàíèÿ â ýò®©
ò®·êå °àâí» íó«þ @ﮱꮫüêó öåíò°» íå ¬®ãóò ï°å¤«®¦èòü ᮫üøåD ·å¬ ±à¬è
ﮫó·àò â ýò®© ò®·êåD à ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ íå ¬®ãóò á»òü ®ò°èöàòå«üí»¬èAF
—à±ò® â ¬®¤å«ÿµ â °®«è òàꮩ ⻤å«åíí®© ò®·êè x â»±òóïàåò ò®·êà x = 0F
ˆ
‚ ¤à«üíå©øå¬ â¬å±ò® ôóíêöèè Ψ â»á®°à ÀÝ áó¤å¬ óê৻âàòü ®¤èí ý«å¬åíò
x— ¬í®¦å±òâà XD ê®ò®°»© áó¤åò â»áè°àòü±ÿ êàê íàè«ó·øè© ± ò®·êè §°åíèÿ ÀÝ
ï°è ï°®·èµ °àâí»µ ⮧¬®¦í®±òÿµX å±«è ®í âµ®¤èò â ¬í®¦å±òâ®
n
σi (x) ’ c(x)
Argmax
x∈X
i=1
QH
®ïòè¬à«üí»µ â»á®°®â ÀÝD ò® ÀÝ â»áå°åò è¬åíí® x— F Ýò®ã® áó¤åò ¤®±òàò®·í®D ï®E
±ê®«üêó â ¤àíí®© ±òàòüå ¬» áó¤å¬ °à±±¬àò°èâàòü ò®«üê® °àâí®âå±í»å ±ò°àòåãèè
@¤«ÿ ê®ò®°»µ è âà¦åí ¤àíí»© x— AD à ï°è ®òê«®íåíèè ®ò °àâí®âå±í®© ±ò°àòåãèèD
屫è ÀÝ ¬®¦åò ﮫó·èòü íåíó«åâóþ â»ã®¤óD ò® ®íD óâå«è·èâàÿ ±òè¬ó«è°®âàíèåD
¬®¦åò ±¤å«àòü òàêD ·ò® ¬í®¦å±òâ® «ó·øèµ ¤«ÿ ÀÝ ò®·åê áó¤åò ò°èâèà«üí»¬ @±®E
±ò®ÿòü è§ ®¤í®ã® ý«å¬åíòàAF
Çà¬åòè¬D ·ò® â ¤àíí®© ¬®¤å«è á¡«üøåå ꮫè·å±òâ® öåíò°®â íå ®§íà·àåò
®
á¡«üøè© ê®íò°®«ü §à ÀÝ @᮫åå ò®·í®å §íàíèå è±µ®¤àAD êàê ýò® á»âàåò â ¦è§íèD
®
ﮱꮫüêó ¬» ï°å¤ï®«®¦è«èD ·ò® öåíò° @öåíò°»A ò®·í® ®±â央¬«åí» ® ¤å©±òâèè
ÀÝF
‚ ¤à«üíå©øå¬ áó¤å¬ ï°å¤ï®«àãàòüD ·ò® ±®®òâåò±òâóþùèå ¬í®¦å±òâà Argmax
íåïó±ò»D ¬èíè¬ó¬» è ¬àê±è¬ó¬»D ê®ò®°»å â±ò°åòÿò±ÿD ¤®±òè¦è¬»F Ýòè ò°åá®E
âàíèÿ ¬®¦í® ®á®±í®âàòü ± ﮬ®ùüþ íåï°å°»âí®±òè @ﮫóíåï°å°»âí®±òè ±âå°µóA
±®®òâåò±òâóþùèµ ôóíêöè© §àò°àò è ¤®µ®¤®â è §à¬êíóò®±òè ¬í®¦å±òâà XF
ÈòàêD ê°àòê® ï®¤âå¤å¬ èò®ãè ïå°â®© ã«àâ».
‚ °à§¤å«å IFI °à±±¬®ò°åí» â®§¬®¦í»å §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬ À‘ è ï°®E
àíà«è§è°®âàí® ¬å±ò® §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬ À‘ â ±®â®êóïí®±òè §à¤à· óï°àE
â«åíèÿ À‘F Ðà±±¬®ò°åí» ò°è °à§«è·í»µ ﮤµ®¤à ê °åøåíèþ §à¤à·è ô®°¬è°®âàE
íèÿ ±®±òàâà À‘F Ï®êà§àí®D ·ò® ¤«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬ À‘ íåE
®áµ®¤è¬® ó¬åòü °åøàòü §à¤à·ó óï°àâ«åíèÿ ôèê±è°®âàíí»¬ ±®±òà⮬ À‘D ê®ò®°àÿ
ôàêòè·å±êè ÿâ«ÿåò±ÿ §à¤à·å© ®á ®ïòè¬à«üí®¬ ±òè¬ó«è°®âàíèè ÀÝF
‚ °à§¤å«å IFP ®ïè±àí» ®±í®âí»å ¬®¤å«è àêòèâí»µ ±è±òå¬D ¤«ÿ ê®ò®°»µ áóE
¤åò â ¤à«üíå©øå¬ °åøàòü±ÿ §à¤à·à óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬F Êàê ừ® ±êà§àí®D íà¬è
àíà«è§è°óþò±ÿ ¤âå À‘X ïå°âàÿ " À‘D ±®±ò®ÿùàÿ è§ ®¤í®ã® öåíò°à è íå±ê®«üêèµ
ÀÝ @¤«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬ è±ï®«íèòå«üí®ã® §âåíàA è âò®°àÿ
" À‘D ±®±ò®ÿùàÿ è§ ®¤í®ã® ÀÝ è íå±ê®«üêèµ öåíò°®â @¤«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è óï°àE
â«åíèÿ ±®±òà⮬ óï°àâ«ÿþùåã® §âåíàAF ‘°å¤è À‘ ± ®¤íè¬ öåíò°®¬ è íå±ê®«üêè¬è
ÀÝ â»¤å«ÿþò±ÿ ¤âà ê«à±±àD ê®ò®°»å â ¤à«üíå©øå¬ áó¤å¬ àíà«è§è°®âàòü " À‘ ±
ê®íå·í»¬ ·è±«®¬ ÀÝ è À‘ ± áå±ê®íå·í»¬ ·è±«®¬ ÀÝD ï°è·å¬ â ®á®èµ ±«ó·àÿµ
öåíò° â»íó¦¤åí è±ï®«ü§®âàòü óíèôèöè°®âàííóþ ±è±òå¬ó ±òè¬ó«è°®âàíèÿF
Ï°èíöèïèà«üí®å ®ò«è·èå ¤àíí»µ À‘ ±®±ò®èò â ò®¬D ·ò® â ®ò«è·èè ®ò À‘ ± ®¤E
íè¬ öåíò°®¬ â À‘ ± íå±ê®«üêè¬è óï°àâ«ÿþùè¬è öåíò°à¬è ⮧íèêàåò èã°à ¬å¦¤ó
öåíò°à¬èD è ï®ýò®¬óD ê°®¬å ®ò»±êàíèÿ ®ïòè¬à«üí»µ ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿD â
¤àíí®© À‘ íå®áµ®¤è¬® åùå ó¬åòü í൮¤èòü °àâí®âå±í»å ±®±ò®ÿíèÿ À‘D òFåF òàêèå
±ò°àòåãèè öåíò°®â @ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿAD ï°è ê®ò®°»µ íè ®¤í®¬ó è§ öåíò°®â
íå áó¤åò â»ã®¤í® ¬åíÿòü ±â®þ ±ò°àòåãèþ ± °àâí®âå±í®© íà êàêóþE«èá® ¤°óãóþ ï°è
󱫮âèèD ·ò® ¤°óãèå öåíò°» è±ï®«ü§óþò °àâí®âå±íóþ ±ò°àòåãèþF




QI
ëàâà 2


“ÍȔȖÈÐ΂ÀÍÍÛ… ‘È‘’…ÌÛ
‘’ÈÌ“ËÈÐ΂ÀÍÈß

Êàê ừ® ï®êà§àí®D ¤«ÿ °åøåíèÿ §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ è±ï®«íèòå«üí»¬ ±®±òàE
⮬ íå®áµ®¤è¬® °åøàòü §à¤à·ó óï°àâ«åíèÿ ôèê±è°®âàíí»¬ ±®±òà⮬D òFåF ó¬åòü
í൮¤èòü íàè«ó·øóþ ôóíêöèþ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ¤«ÿ §à¤àíí®ã® ±®±òàâàF
‚ ¤àíí®© ã«àâå °à±±¬àò°èâàåò±ÿ §à¤à·à ±èíòå§à ®ïòè¬à«üí®© ôóíêöèè ±òè¬óE
«è°®âàíèÿ ¤«ÿ À‘ @êàê ¤è±ê°åòí»µD òàê è íåï°å°»âí»µAD â ê®ò®°®© öåíò° è±E
ﮫü§óåò óíèôèöè°®âàííóþ ±è±òå¬ó ±òè¬ó«è°®âàíèÿF Í൮¤ÿò±ÿ ±â®©±òâà ®ïòèE
¬à«üí»µ ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ è ®ïè±»âàåò±ÿ â§à謮±âÿ§ü ¤å©±òâè© àêòèâí»µ
ý«å¬åíò®â ± °à§«è·í»¬è òèïà¬èF Ï°è⮤ÿò±ÿ à«ã®°èò¬» í൮¦¤åíèÿ ®ïòè¬à«üE
í®© ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ êàê ¤«ÿ ±«ó·àÿ À‘ ± ê®íå·í»¬ ·è±«®¬ ý«å¬åíò®âD
òàê è ¤«ÿ ±«ó·àÿ ± áå±ê®íå·í»¬ ·è±«®¬ ÀÝF

2.1. ”óíêöèè §àò°àò àêòèâí»µ ý«å¬åíò®â
‚ ¤àíí®¬ °à§¤å«å °à±±¬àò°èâàåò±ÿ â§à謮±âÿ§ü ôóíêöèè §àò°àò è ï°®è§E
⮤±òâåíí®© ôóíêöèè àêòèâí»µ ý«å¬åíò®âF ȱµ®¤ÿ è§ ±â®©±òâ ï°®è§â®¤±òâåíí®©
ôóíêöèè â»â®¤ÿò±ÿ ±â®©±òâà ôóíêöèè §àò°àòF Ï®ê৻âàåò±ÿD ·ò® ±â®©±òâàD ê®ò®E
°»å íଠï®ò°åáóþò±ÿ â ¤à«üíå©øå¬ ®ò ôóíêöèè §àò°àò ¤«ÿ °à±±¬®ò°åíèÿ §à¤à·è
óï°àâ«åíèÿ ôèê±è°®âàíí»¬ ±®±òà⮬D ¬®¦í® â»âå±òè è±µ®¤ÿ è§ °à§ó¬í»µ ï°å¤E
ﮫ®¦åíè© ® ±â®©±òâൠﰮè§â®¤±òâåíí»µ ôóíêöè©F
Îᮧíà·è¬ §à y > 0 â»ïó±ê @¤å©±òâèåA àêòèâí®ã® ý«å¬åíòàD §à r > 0 " íåE
ê®ò®°óþ åã® µà°àêòå°è±òèêó @òèïAD ã®â®°ÿùóþD íàï°è¬å°D ® ï°®è§â®¤èòå«üí®±òè
â ±«ó·àå ôè°¬» è«è ®á°à§®âàíèè @òà«àíòåA â ±«ó·àå ·å«®âåêàF Îᮧíà·è¬ §à c
§àò°àò» àêòèâí®ã® ý«å¬åíòàF Ïó±òü â»ïó±ê y §àâè±èò ®ò §àò°àò è òèïà àêòèâí®E
ã® ý«å¬åíòà ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬X y = F (c, r)D ã¤å F " íåê®ò®°àÿ ¤âত» ¤èôE
ôå°åíöè°óå¬àÿ ï°®è§â®¤±òâåííàÿ ôóíêöèÿF Ï°å¤ï®«®¦è¬D ·ò® ôóíêöèÿ F (c, r)
®á«à¤àåò ±«å¤óþùè¬è ±â®©±òâà¬èX
P 1.1. Çàò°àò» íà °åà«è§àöèþ íó«åâ®ã® ¤å©±òâèÿ @òFåF á姤婱òâèåA °àâí» íóE
«þX
F (0, r) = 0;
P 1.2. Ï°è ¤®ï®«íèòå«üí»µ §àò°àòൠâ»ïó±ê óâå«è·èâàåò±ÿX
‚F (c, r)
Fc (c, r) ≡ > 0;
‚c
P 1.3. „®ï®«íèòå«üí»© â»ïó±ê íà å¤èíèöó ¤®ï®«íèòå«üí»µ §àò°àò ó¬åíüøàE
åò±ÿ ï°è óâå«è·åíèè ±à¬èµ §àò°àò @â®ãíóò®±òü ï® cAX
‚ 2 F (c, r)
Fcc (c, r) ≡ < 0;
‚c2
QP
P 1.4. ‚»ïó±ê óâå«è·èâàåò±ÿ ï°è óâå«è·åíèè òèïà àêòèâí®ã® ý«å¬åíòàX
‚F (c, rT )
Fr (c, r) ≡ > 0;
‚r
P 1.5. Ï°è ó«ó·øåíèè òèïà àêòèâí®ã® ý«å¬åíòà ꮫè·å±òâ® ï°®¤óêöèèD ï°®E
è§â®¤è¬®© íà ®¤íó ¤®ï®«íèòå«üíóþ å¤èíèöó ±òè¬ó«è°®âàíèÿD óâå«è·èâàåò±ÿX
‚ 2 F (c, r)
Fcr (c, r) ≡ > 0.
‚c‚r
Ï°è¬å° 1. ‚±å¬è ïå°å·è±«åíí»¬è ±â®©±òâà¬è ®á«à¤àþò ôóíêöèè Ê®ááàE„óãE
«à±à
@PFIA F (c, r) = F0 c± r1’± ,
ã¤å ± ∈ (0; 1), F0 > 0F•
Îï°å¤å«è¬ ¬èíè¬à«üí® íå®áµ®¤è¬»å §àò°àò» íà °åà«è§àöèþ ¤å©±òâèÿ y êàê
c(r, y) = min{c ≥ 0|F (c, r) ≥ y}.
Í৮âå¬ ôóíêöèþ c(·, ·) ôóíêöèå© §àò°àò àêòèâí®ã® ý«å¬åíòàF ‚ ±è«ó ﮫ®¦èòå«üE
í®±òè Fc (c, r) ﮫó·àå¬D ·ò® c(r, y) ®ï°å¤å«ÿåò±ÿ ï® F (c, r) êàê ®á°àòíàÿ ôóíêöèÿ
ï® à°ãó¬åíòó cF
Ï°è¬å° 2. „«ÿ ôóíêöèè Ê®ááàE„óã«à±à §àò°àò» c êàê ôóíêöèÿ ®ò r è y å±òü
(1/±)
yr±’1
c(r, y) =
F0
1/±
1
y 1/± r(1’1/±) = c0 y β r1’β ,
=
F0
’1/±
ã¤å c0 = F0 D β = 1/± > 0F•
‚姤å â ¤à«üíå©øå¬ áó¤å¬ ï°å¤ï®«àãàòüD ·ò® ï°®è§â®¤±òâåííàÿ ôóíêöèÿ
F (c, r) ®á«à¤àåò ±â®©±òâà¬è P 1.1-P 1.5F
Ë嬬à 2.1.1. ”óíêöèÿ §àò°àò ó¤®â«åòâ®°ÿåò ±«å¤óþùè¬ ±â®©±òâà¬X
P 2.1. ‘òè¬ó«è°®âàíèå ¤«ÿ â»á®°à íó«åâ®ã® ¤å©±òâèÿ °àâí® íó«þX
c(r, 0) = 0;
P 2.2. Ï°è óâå«è·åíèè ¦å«à嬮㮠¤å©±òâèÿ íå®áµ®¤è¬®å ±òè¬ó«è°®âàíèå óâåE
«è·èâàåò±ÿX
cy (r, y) > 0
@êàê «åãê® âè¤åòüD ¤àíí®å ±â®©±òâ® ÿâ«ÿåò±ÿ ±«å¤±òâèå¬ ±â®©±òâà P 2.4 è cy (r, 0) >
0AY
P 2.3. Ï°è ó«ó·øåíèè òèïà àêòèâí®ã® ý«å¬åíòà íå®áµ®¤è¬®å ±òè¬ó«è°®âàíèå
ó¬åíüøàåò±ÿX
cr (r, y) < 0;
P 2.4. Ï°è óâå«è·åíèè ¤å©±òâèÿ §àò°àò» íà ¤®ï®«íèòå«üí®å óâå«è·åíèå ¤å©E
±òâèÿ ⮧°à±òàþòX
cyy (r, y) > 0.
Ï°è ¤®ï®«íèòå«üí®¬ 󱫮âèè ï®±ò®ÿí±òâà ®ò¤à·è ®ò ¬à±øòàáà ±¬åøàííàÿ ï°®E
è§â®¤íàÿ
cyr (r, y) < 0
QQ
@í৮âå¬ ýò® ±â®©±òâ® P 2.5AF
Çà¬åòè¬ òåïå°üD ·ò® ±¬åøàííàÿ ï°®è§â®¤íàÿ ï® y è r å±òü
cy (r, y)Fcr (c, T ) + Fcc (c, r)c2 (r, y)
y
cyr (r, y) = ’
Fc (c, r)
èD â®®áùå ã®â®°ÿD íå è¬ååò ï®±ò®ÿíí®ã® §íàêà @®¤íàê® ï®±ò®ÿíí»© §íàê ãà°àíòèE
°óåò±ÿ 󱫮âèå¬ ï®±ò®ÿí±òâà ®ò¤à·è ®ò ¬à±øòàáàAF

Ï°è¬å° 3. Ðà±±¬®ò°è¬ ôóíêöèþ F (r, c) = rcF ’®ã¤à c(r, y) = y 2 /rD à ï°®è§E
⮤í»åD ±®®òâåò±òâåíí®D °àâí»X

cr (r, y) = ’y 2 /r2 ; cr (r, y) = 2y/r;

cyy (r, y) = 2/r; cry (r, y) = ’2y/r2 .•
Çà¬å·àíèå. …±òå±òâåíí® ï°å¤ï®«®¦èòüD ·ò® ï°®è§â®¤±òâåííàÿ ôóíêöèÿ
F (c, r) ó¤®â«åòâ®°ÿåò 󱫮âèÿ¬ ÈíमX

Fc (0, r) = ∞, Fc (∞, r) = 0,

F (c, r) " â®ãíóòàÿ ï® c ôóíêöèÿF ’®ã¤à c(r, y) ó¤®â«åòâ®°ÿåòD ±®®òâåò±òâåíí®D 󱫮E
âèÿ¬ cy (r, 0) = 0D cy (r, ∞) = ∞D c(r, y) " â»ïóê«àÿ ï® y ôóíêöèÿF ”óíêöèÿ Ê®ááàE
„óã«à±à ï®«í®±òüþ ó¤®â«åòâ®°ÿåò ýòè¬ ó±«®âèÿ¬F
Ðà±±¬®ò°è¬ â®ï°®± ® ò®¬D êàê 觬åíÿþò±ÿ ±â®©±òâà ôóíêöèè §àò°àò ï°è ¬®E
í®ò®íí®¬ ï°å®á°à§®âàíèè òèï®â àêòèâí»µ ý«å¬åíò®âF Îòâåò íà ýò®ò â®ï°®± ¤àåò
±«å¤óþùàÿ «å¬¬àF
Ë嬬à 2.1.2. …±«è ôóíêöèÿ §àò°àò c(r, x) ®á«à¤àåò ±â®©±òâà¬è P 2.1P 2.5D
ò® ýòè¬è ¦å ±â®©±òâà¬è ®á«à¤àåò è ôóíêöèÿ §àò°àò c(r— , x) = (F ’1 (r— ), x)D ã¤å
˜
r— = F (r)D à F : „¦ ’ „¦1 " íåï°å°»âí®E¤èôôå°åíöè°óå¬àÿ ¬®í®ò®íí® â®§°à±òàþE
ùàÿ ôóíêöèÿ @ï°å¤ï®«àãàå¬D ·ò® è ®á«à±òü ⮧¬®¦í»µ òèï®â àêòèâí»µ ý«å¬åíò®â
觬åíÿåò±ÿ ±®®òâåò±òâóþùè¬ ®á°à§®¬D „¦1 = F („¦)AF
Çà¬å·àíèå. „è±ê°åòí»å àíà«®ãè ±â®©±òâ P 2.3. è P 2.5. @ï°è ¤è±ê°åòí®¬
íàá®°å òèï®âA â»ã«ÿ¤ÿò ±«å¤óþùè¬ ®á°à§®¬ @®±òà«üí»å ±â®©±òâà íå 觬åíÿþò±ÿAX
P 2.3.
c(r1 , y) ’ c(r2 , y) < 0 ï°è r1 > r2 ;
P 2.5.
cy (r1 , y) ’ cy (r2 , y) < 0 ï°è r1 > r2 .
’àêè¬ ®á°à§®¬D ¬» â»âå«è íå®áµ®¤è¬»å íଠ⠤à«üíå©øå¬ ó±«®âèÿ íà ôóíêE
öèè §àò°àò àêòèâí»µ ý«å¬åíò®â è±µ®¤ÿ è§ °à§ó¬í»µ ò°åá®âàíè© íà ï°®è§â®¤±òâåíE
í»å ôóíêöèè è â ¤à«üíå©øå¬ áó¤å¬ ï°å¤ï®«àãàòü èµ â»ï®«íåíèåF

2.2. ‘⮩±òâà ôóíêöè© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ è ôóíêöè© ¤å©±òâèÿ
‚ ¤àíí®¬ °à§¤å«å °à±±¬àò°èâàþò±ÿ ±â®©±òâà @è â§à謮±âÿ§üA ôóíêöèè ±òè¬óE
«è°®âàíèÿ è ôóíêöèè ¤å©±òâèÿ â ®áùå¬ ±«ó·àå @¤à¦å ï°è íå®ïòè¬à«üí®© ôóíêE
öèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿAF Ï®¤°®áí»© àíà«è§ ¤àíí»µ ±â®©±òâ ﮧ⮫èò íଠ°åøèòü
§à¤à·ó óï°àâ«åíèÿ ôèê±è°®âàíí»¬ ±®±òà⮬D ·ò® â èò®ãå ï®íमáèò±ÿ ¤«ÿ °åøåE
íèÿ §à¤à·è óï°àâ«åíèÿ ±®±òà⮬F
QR
”óíêöèÿ ¤å©±òâèÿ è ôóíêöèÿ ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ±âÿ§àí» ¬å¦¤ó ±®á®þ ·å°å§
󱫮âèå °àöè®íà«üí®ã® â»á®°à ÀÝX

@PFPA f (r) ∈ Argmax(σ(x) ’ c(r, x)) ∀r ∈ „¦.
x∈X

Ï®±ê®«üêó §à¤à·à ÀÝ ÿâ«ÿåò±ÿ ·à±òüþ §à¤à·è ï®è±êà ®ïòè¬à«üí®© ±è±ò嬻
±òè¬ó«è°®âàíèÿD ò® ﮤ°®áí®å è±±«å¤®âàíèÿ °åøåíèÿ §à¤à·è @PFPA è ó±òàí®â«åíèÿ
±®â¬å±òí»µ ±â®©±òâ ôóíêöèè ¤å©±òâèÿ è ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ íå®áµ®¤è¬»
¤«ÿ ¤à«üíå©øåã® è±±«å¤®âàíèÿF „àíí»© °à§¤å« öå«èꮬ ï®±âÿùåí è§ó·åíèþ â§àE
謮±âÿ§è ¬å¦¤ó ýòè¬è ôóíêöèÿ¬è êàê â ¤è±ê°åòí®¬D òàê è â íåï°å°»âí®¬ ±«ó·àåF
”àêòè·å±êè ôóíêöèÿ ¤å©±òâèÿ å±òü §àâè±è¬®±òü °åà«è§ó嬮㮠¤å©±òâèÿ ®ò
òèïà àêòèâí®ã® ý«å¬åíòàX â±åã¤à ¬®¦í® ï°å¤ï®·òåíèÿ öåíò°à ®ï°å¤å«èòü òàêè¬
®á°à§®¬D ·ò® ï°è â»ï®«íåíèè Ãèï®ò姻 Á«à㮦å«àòå«üí®±òè àêòèâí»© ý«å¬åíò
òèïà r áó¤åò °åà«è§®â»âàòü ¤å©±òâèå f (r) @ï°è íåê®ò®°»µ ®ã°àíè·åíèÿµ íà ôóíêE
öèþ f (r)AF Ì» ï®±òà°à嬱ÿ ó§íàòü ᮫üøååX êàêè¬è ±â®©±òâà¬è ®á«à¤àåò ôóíêE
öèÿ f (r)D êàê ®íà ±âÿ§àíà ± ôóíêöèå© ±òè¬ó«è°®âàíèÿ σ(x) @íå ±·èòàÿ ®ï°å¤å«åE
íèÿ @PFPAAD êàêè¬è ±â®©±òâà¬è ®á«à¤àåò ôóíêöèÿ ±òè¬ó«è°®âàíèÿD ê®ò®°®© ±®®òE
âåò±òâóåò §à¤àííàÿ ôóíêöèÿ ¤å©±òâèÿF
Íà·íå¬ è±±«å¤®âàíèå ± ±à¬»µ ï°®±ò»µ ±â®©±òâ ôóíêöèè ¤å©±òâèÿF
ϰ妤å â±åã® §à¬åòè¬D ·ò® 屫è f (r) " °åøåíèå §à¤à·è @PFPA ¤«ÿ íåê®ò®°®©
σ(x) ∈ M D ò® ¤«ÿ «þá®ã® r ∈ „¦ â»ï®«íÿåò±ÿ íå°àâåí±òâ®

@PFQA σ(f (r)) ’ c(r, f (r)) ≥ 0,

òFåF ±òè¬ó«è°®âàíèå ¤å©±òâèÿD â»áè°à嬮㮠íåê®ò®°»¬ àêòèâí»¬ ý«å¬åíò®¬ ±èE
±ò嬻D â±åã¤à íå ¬åíüøå §àò°àò ýò®ã® ý«å¬åíòà íà °åà«è§àöèþ ¤àíí®ã® ¤å©±òâèÿF
„婱òâèòå«üí®D ﮱꮫüêó â ±è«ó ±â®©±òâà P 2.1. c(r, 0) = 0 è σ(0) ≥ 0D ò®
â»ï®«íÿåò±ÿ σ(0) ’ c(r, 0) ≥ 0F Ê°®¬å ò®ã®D

f (r) ∈ Argmax(σ(x) ’ c(r, x)),
x∈X

±«å¤®âàòå«üí® ±ï°àâ夫èâ®
σ(f (r)) ’ c(r, f (r)) = sup(σ(x) ’ c(r, x)) ≥
x∈X
≥ σ(0) ’ c(r, 0) ≥ 0.
‘«å¤óþùàÿ «å¬¬à ã®â®°èò ® ±â®©±òâåD ê®ò®°®å ¬» áó¤å¬ ·à±ò® â ¤à«üíå©øå¬
è±ï®«ü§®âàòüF
Ë嬬à 2.2.1. „«ÿ «þᮩ ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ ôóíêöèÿ ¤å©±òâèÿ ÿâ«ÿE
åò±ÿ íåóá»âàþùå© ôóíêöèå©F
‘«å¤®âàòå«üí®D âíå §àâè±è¬®±òè ®ò ±è±ò嬻 ±òè¬ó«è°®âàíèÿD âíå §àâè±è¬®±òè
®ò §àò°àò @íå®áµ®¤è¬à «èøü ®ò°èöàòå«üíàÿ ±¬åøàííàÿ ï°®è§â®¤íàÿA ¤å©±òâèåD
°åà«è§ó嬮å àêòèâí»¬ ý«å¬åíò®¬ ± ᮫üøè¬ òèﮬ â±åã¤à íå ¬åíüøå ¤å©±òâèÿD
°åà«è§ó嬮㮠àêòèâí»¬ ý«å¬åíò®¬ ± ¬åíüøè¬ òèﮬF
Ë嬬à 2.2.2. „«ÿ «þᮩ ôóíêöèè ±òè¬ó«è°®âàíèÿ öå«åâàÿ ôóíêöèÿ ÀÝ
σ(f (r)) ’ c(r, f (r))

ÿâ«ÿåò±ÿ ⮧°à±òàþùå© ôóíêöèå© òèïà r ÀÝF

<< . .

. 4
( : 19)



. . >>