<< Пред. стр.

стр. 2
(общее количество: 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

была использована в работе Лоренца для описания
конвективного движения в атмосфере с целью При конвективном движении управляющим
предсказания погоды. параметром служит градиент температуры. При пе-
реходе от ламинарного течения к турбулентному
Конвективное движение в атмосфере описыва-
управление может осуществляться изменением
ется весьма сложными уравнениями газовой дина-
разности давления на концах трубы.
мики. Они служат примером уравнений механики
сплошной среды. Для математического моделиро- В медицине роль управляющих параметров могут
вания этого движения Лоренц использовал весьма выполнять лекарства. Наблюдение за состоянием
упрощенную модель – систему трех обыкновенных, больного позволяет контролировать правильность
но нелинейных дифференциальных уравнений. выбора лекарства. Роль управляющего параметра
Они представляют собой динамические уравнения играет и скальпель хирурга. Управляющим парамет-
для макроскопических характеристик среды – ком- ром может служить и время выздоровления – время,


113
aaaaecieCao u.a. CCONOcaO C iaaaai eiaeoioi eaeiOa
в течение которого организм без внешнего вмеша- мена повторения для них значительно больше харак-
тельства возвращается к норме. терных времен релаксации динамической системы.
Основной особенностью динамического хаоса
VI. NacAaaoOeaeO a eiAiaeiaoOeaeO служит динамическая неустойчивость движения.
eeaeAcaO eaeUcoi NCaUOcaa Она выражается в сильной (экспоненциальной)
расходимости близких в начальный момент траек-
Во введении мы отметили, сколь драматичным
торий. Следствием ее является перемешивание тра-
было соперничество двух теорий статистического и
екторий, наличие которого и позволяет перейти от
динамического описания неравновесных процес-
полного описания на основе уравнений движения
сов. Хотя в настоящее время “накал страстей” не
всех частиц к более простым уравнениям для функ-
столь велик, эти два направления и по сей день раз-
ций, сглаженных по объему перемешивания. Тем
виваются в значительной мере независимо. Необ-
самым радикально меняется способ описания. Сис-
ходимость их синтеза особенно остро ощущается в
тема частиц заменяется сплошной средой.
последние годы, в первую очередь в связи с разви-
Именно так, не делая на этом акцента, поступил
тием физики открытых систем.
Больцман, когда ввел свое знаменитое кинетичес-
В чем же причина столь долгого противостояния
кое уравнение для плотности распределения частиц
этих двух фундаментальных научных направлений?
в пространстве шести измерений – в пространстве
Является ли такое независимое развитие оправдан-
координат и компонент скорости. Таким образом,
ным?
функция распределения, для которой Больцман за-
Ответ на второй вопрос очевиден: их синтез не- писал свое уравнение, является макроскопической
обходим. Первый же вопрос не столь простой. Ни- характеристикой.
же мы попытаемся дать на него ответ.
В результате такого радикального изменения
Выделим два класса систем: динамические и меняется и временная симметрия уравнений.
стохастические (или статистические). Такое разде- Именно система обратимых уравнений механики
ление является условным, так как во многих случа- для системы частиц заменяется необратимым урав-
ях трудно провести различие между динамическим нением для макроскопической плотности сплош-
и физическим хаосом. Его, однако, можно провести ной среды – кинетическим уравнением Больцмана.
на основе численного эксперимента. Это оправда- Как следствие этого возникают новые характерис-
но, поскольку практически все представляющие тики, которых нет в механике частиц. Важнейшей
интерес математические модели не имеют аналити- из них является энтропия.
ческих решений. После классических работ А. Пуанкаре можно
В основу классификации положим свойство выделить два этапа развития динамической теории
воспроизводимости движения по заданным началь- диссипативных систем. Первый связан с возникно-
ным условиям. Тогда, по определению, к динамиче- вением радиотехники, с необходимостью развития
ским относятся воспроизводимые, а к стохастичес- для этих целей теории автоколебаний. Замечатель-
ким – не воспроизводимые по начальным данным ные физические и математические результаты в
движения в нелинейных диссипативных системах. этой области принадлежат Ван дер Полю, Л.И. Ман-
дельштаму, А.А. Андронову, А.А. Витту, Л.С. Понт-
Естественно, что в реальном эксперименте, ког-
рягину, Н.М. Крылову, Н.Н. Боголюбову и многим
да наличие шума неизбежно, все процессы в той
другим. Особое место в установлении связи дина-
или иной мере являются стохастическими. При
мического и статистического описания сложных
численном же эксперименте возможно точное (при
движений принадлежит очень рано ушедшему из
заданной разрядности компьютера) повторение на-
жизни Николаю Сергеевичу Крылову.
чальных условий. Воспроизводимость решения за-
висит лишь от структуры математической модели. Второй этап развития динамической теории
Если уравнения не содержат случайных источни- стимулировался проблемами теории турбулентнос-
ков, то процесс воспроизводим и, следовательно, ти и трудностями решения задачи о долгосрочном
движение является динамическим, хотя оно и мо- прогнозе погоды. Фактическим его началом явилась
жет быть при этом очень сложным и практически работа Эдварда Лоренца. Значение этой работы бы-
непредсказуемым. В противном случае (при нали- ло понято, однако, значительно позднее, после по-
чии тех или иных источников), когда движение не явления статьи математиков Д. Рюэля и Ф. Такенса,
воспроизводимо по начальным данным, мы имеем опубликованной в 1971 году. В ней был введен но-
дело, следовательно, со стохастическим движением. вый математический образ сложного движения в
нелинейных диссипативных динамических систе-
При исследовании стохастических процессов пу-
мах – странный аттрактор.
тем численного эксперимента существенно, что ис-
точники случайных чисел в компьютерах построены Слово “странный” подчеркивает два свойства
по определенному алгоритму и являются поэтому аттрактора. Это, во-первых, необычность его геоме-
фактически детерминированными. Они могут рас- трической структуры. Она не может быть представ-
сматриваться как случайные, если характерные вре- лена в виде кривых или плоскостей, то есть геомет-


114 eeeeeeCeaaa eAeAaeCAiOaucoa UiecAa, ‹8, 1996
рических элементов целой размерности. поддержания необходимы количественные оценки
Размерность странного аттрактора является дроб- относительной степени хаотичности.
ной или, как принято говорить, фрактальной. Покажем, что динамическая неустойчивость
может играть в физике открытых систем и конст-
Во-вторых, странный аттрактор – это притяги-
руктивную роль. Начнем с иллюстративного при-
вающая область для траекторий из окрестных обла-
мера из социологии. Представим себе, что происхо-
стей. При этом все траектории внутри странного ат-
дит лекция для учителей, которые съехались из
трактора динамически неустойчивы.
различных областей России. Предположим, что
Странный аттрактор существует только в нели- лекция подошла к концу, исчерпаны все вопросы.
нейных диссипативных системах с числом пере- Примем это состояние слушателей за начальное.
менных больше двух. Так, уравнения Лоренца пред- Рассмотрим два возможных варианта их дальней-
ставляют систему трех нелинейных диссипативных шего движения. 1. Слушатели после окончания лек-
уравнений. Напомним, что автоколебания, напри- ции перемещаются вместе, не удаляясь друг от друга
мер в генераторе Ван дер Поля, описываются систе- на значительные расстояния. 2. Слушатели разъез-
мой двух уравнений. В этом случае имеются лишь жаются по местам работы и жительства – “разбега-
простые аттракторы: состояние покоя (точка) и ются экспоненциально”. Иными словами, движение
предельный цикл (замкнутая кривая). Для возмож- слушателей становится “динамически неустойчи-
ности существования странного аттрактора необхо- вым”. Какой из этих двух вариантов движения в
димо усложнение генератора Ван дер Поля. Оно мо- большей мере способствует использованию полу-
жет быть осуществлено различными способами. ченных во время лекции знаний?
Один из них принадлежит В.С. Анищенко и Первый вариант полезен в определенной мере,
В.В. Астахову. Они ввели дополнительную обрат- так как позволяет продолжить обсуждение затрону-
ную связь с использованием полупериодного детек- тых в лекции вопросов. Несомненно вместе с тем,
тора. Такой генератор описывается системой трех что лишь второй вариант движения, когда имеет ме-
дифференциальных уравнений, которые содержат сто “динамическая неустойчивость” и имеет место
два управляющих параметра: параметр обратной “перемешивание” траекторий слушателей по тер-
связи и характерный временной параметр, опреде- ритории России, позволяет донести полученные
ляющий степень запаздывания. знания до школьников.
Результаты физического и численного экспери- Этот пример демонстрирует, что динамическая
ментов показали следующее. При фиксированном неустойчивость движения и перемешивание могут
времени запаздывания по мере увеличения параме- и не вести к хаосу, а играть позитивную и конструк-
тра обратной связи в генераторе возникает последо- тивную роль.
вательность бифуркаций удвоения периода колеба- Вернемся после этого иллюстративного приме-
ний – бифуркаций Фейгенбаума. Так происходит ра к физической системе. Рассмотрим разреженный
до некоторого критического значения параметра газ. Это означает, что объем атома или молекулы га-
обратной связи. При значениях больше критическо- за гораздо меньше среднего объема, который при-
го возникает странный аттрактор со сложным чере- ходится на одну частицу. Представим атомы в виде
дованием областей динамического хаоса и порядка. абсолютно упругих шариков. Такая модель во мно-
При этом в широкой области значений параметров гих случаях оказывается вполне оправданной.
наблюдалась достаточная близость результатов фи-
С точки зрения механики, для описания эволю-
зического и численного анализа. Это соответствие
ции газа надо использовать систему уравнений для
нарушается, однако, вблизи критических точек –
всех его атомов. Такая задача непосильна даже для
точек бифуркации, где динамическая математичес-
самых мощных компьютеров. В чем же выход? Как
кая модель генератора оказывается недостаточной.
же найти способ описания неравновесных процес-
Подведем некоторые итоги. Мы видели, что в сов в газе – в системе, состоящей из огромного числа
сравнительно простых динамических системах су- частиц? Покажем, что решение такой задачи воз-
ществуют чрезвычайно сложные движения, кото- можно и именно благодаря конструктивной роли ди-
рые воспринимаются как хаотические. Это и дало намической неустойчивости движения атомов газа.
основание для введения новых понятий: странный Благодаря динамической неустойчивости дви-
аттрактор и динамический (или детерминирован- жения – экспоненциальному разбеганию траекто-
ный) хаос. рий, происходит перемешивание траекторий в фа-
Слово “хаос” является, как правило, негатив- зовом пространстве. Это открывает возможность
ным как в физике и биологии, так, например, и в ввести понятие “сплошная среда” и использовать
экономике. Это понятие, однако, как уже отмеча- вместо микроскопических уравнений движения ча-
лось выше, очень многогранно. Так, жизнь невоз- стиц газа приближенные уравнения для макроско-
можна как при полном хаосе, так и при полном по- пических функций. Атомарная структура системы
рядке. Для нормального организма нужна некоторая принимается во внимание при определении понятия
норма степени хаотичности. Для ее определения и “точка сплошной среды.” Для этого необходимо


115
aaaaecieCao u.a. CCONOcaO C iaaaai eiaeoioi eaeiOa
4. Климонтович Ю.Л. Физика открытых систем //
конкретное определение физически бесконечно
Успехи физических наук. 1966. Т. 168.
малых масштабов времени и длины и соответствую-
5. Самоорганизация в науке / Под ред. И.Г. Акчурина
щего физически бесконечно малого объема, кото-
и В.И. Аршинова. М.: Арго, 1994.
рый и играет роль объема “точки” сплошной среды.
Такое определение должно быть согласовано с опре-
***
делением минимальной области перемешивания и
минимальным временем развития динамической Юрий Львович Климонтович, доктор физико-
неустойчивости. математических наук, профессор, зав. лаборато-
рией синергетики (самоорганизации) Физическо-
го факультета Московского государственного уни-
aaiOeAiieA
верситета им. М.В. Ломоносова. Область научных
1. Пригожин И. От существующего к возникающему. интересов: статистическая теория открытых сис-
М.: Наука, 1985. тем. Лауреат Государственной премии России и
2. Хакен Г. Синергетика. М: Мир, 1980. премии Александра Гумбольдта 1994 года. Автор
более 150 научных работ, 7 монографий и 3 учеб-
3. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория откры-
ных пособий.
тых систем. М.: Янус, 1995.




116 eeeeeeCeaaa eAeAaeCAiOaucoa UiecAa, ‹8, 1996

<< Пред. стр.

стр. 2
(общее количество: 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ