<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

(23)
0
Подставляя в условие реализуемости действия y* системой
˜
стимулирования ? конкретное значение действия АЭ: y = 0, полу-
чим (первое неравенство следует из (23)):
˜ ˜
0 > ? ? (z)p(z, y*) dz – c(y*) ? ? (0) – c(0),
A0
что противоречит А.2.4. •
Сравним эффективность стимулирования в двух случаях. Пер-
вый случай - когда функция затрат АЭ зависит от результата его
деятельности, второй случай когда функция затрат АЭ зависит от
его действия. Так как множества A и A0 совпадают, то будем рас-
сматривать одну и ту же функцию затрат c(?).
Следствие. Эффективность стимулирования в случае, когда за-
траты АЭ зависят от ненаблюдаемого центром действия АЭ, не
выше, чем в случае, когда затраты АЭ зависят от его результата
деятельности, наблюдаемого центром.
Вычислим ожидаемое значение функции стимулирования (19):
z*
?
E ?*(z*, z) = c(z) p(z) dz + c(z*) [1 – F(z*)] ? c(z*).
0
Последнее неравенство получено оценкой интеграла сверху в
силу монотонности и неотрицательности затрат АЭ.
В ходе доказательства теоремы 2.5б было установлено, что
ожидаемое значение функции стимулирования (21) равно следую-
щей величине : E ?*(y*, z) = c(y*).



89
Если приравнять действия y* и z*, реализуемые, соответствен-
но, системами стимулирования (21) и (19), то получим:
E ?*(y*, z) ? E ?*(z*, z).
Так как минимальные затраты на стимулирование по реализа-
ции любого действия системой стимулирования (21) выше, чем
системой стимулирования (19), то по теореме о минимальных
затратах на стимулирование [78] получаем утверждение следст-
вия. •
Итак, теоремы 2.5а и 2.5б дают решение задачи синтеза опти-
мальной функции стимулирования, побуждающей простой актив-
ный элемент к сокращению времени выполнения проекта.
Проверим выполнение принципа соответствия – при «предель-
ном переходе» от вероятностной АС (рассматриваемой модели
простого АЭ) к соответствующей детерминированной АС опти-
мальные решения должны совпадать. Действительно, система
стимулирования (19) переходит в оптимальную в детерминирован-
ной модели компенсаторную систему стимулирования [79], а (21) в
точности совпадает с оптимальной квазикомпенсаторной системой
стимулирования (4).

2.2.4. Внешняя нечеткая неопределенность
относительно результатов деятельности АЭ

В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе,
предположим, что реальное сокращение z ? A0 = [0; +?) продол-
жительности проекта зависит от действия АЭ, но, выбирая свои
стратегии, участники проекта имеют о нем нечеткую информацию
˜ ˜
P (z, y), P : A ? A0 > [0; 1]. По-прежнему будем считать, что дей-
ствия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, а стимулирова-
ние зависит от результата деятельности, в то время как целевая
функция центра зависит от действия АЭ (если в рассматриваемой
модели с нечеткой неопределенностью целевая функция центра
зависит от результата деятельности АЭ, то в рамках вводимых
ниже предположений задача управления сводится [79] к детерми-
нированной, то есть описанной выше).
Дополнительно к предположениям А.2.4 и А.2.5 введем сле-
дующее предположение относительно свойств нечеткой информа-
ционной функции:
90
˜
А.2.8. Нечеткая информационная функция P (z, y) 1-
нормальна [82], то есть:
˜ ˜
? y ? A sup P (z, y) = 1 и ? z ? A0 ? y ? A: P (z, y) = 1.
z? A0
Так как функции полезности участников проекта (центра и
АЭ): ?(?(z), z) и f(?(z), z) = ?(z) – c(z) зависят от неопределенных
величин, то будем считать, что они выбирают свои стратегии,
недоминируемые по индуцированному нечеткому отношению
предпочтения (НОП) [82]. Множество максимально недоминируе-
мых (по НОП, индуцированному на множестве A функцией полез-
˜
ности АЭ f(z) и нечеткой информационной функцией P (z, y))
˜
обозначим P ( R A0 (? ), A) . Алгоритм построения этого множества
описан в [75, 82]. Таким образом, задача управления имеет вид:
?? (? ( y * ), y * ) > min
? ? ?M , y *?[ 0;T ?T0 ] .
(24) ?
˜
? y ? P( R A0 (? ), A)
*
?
˜
Обозначим Q(z) = {y ? A | P (z, y) = 1}. Решение задачи (24)
дается следующей теоремой.
Теорема 2.6. Оптимальное решение ?*(z) задачи (24) имеет вид:
?c( z * ), z = z *
(25) ? (z) = ?
*
,
z?z *
? 0,
где оптимальное значение результата деятельности АЭ z* в рамках
гипотезы благожелательности определяется следующим выражени-
ем:
(26) z* = arg min { min [c(z) + ?(T – T0 – y)]}.
z? A0 y?Q ( z )
Если гипотеза благожелательности не выполнена, то опти-
мальное значение результата деятельности АЭ z* определяется
следующим выражением:
(27) z* = arg min { max [c(z) + ?(T – T0 – y)]}.
z? A0 y?Q ( z )
Множество максимально недоминируемых (по НОП, индуци-
рованному на множестве A целевой функцией АЭ f(?, z) и нечеткой
˜
информационной функцией P (z, y)) действий АЭ описывается

91
достаточно сложно (см. [75, 82]), и использование такого описания
для решения задачи стимулирования затруднительно. Поэтому в
теории активных систем (по аналогии с тем как это делалось в
теории принятия решений [82]) был предложен подход, заключаю-
щийся в сведении задачи анализа зависимости множества недоми-
нируемых альтернатив от системы стимулирования к анализу
зависимости решения задачи четкого математического программи-
рования (ЧМП) от системы стимулирования [75, 79]. Более кон-
кретно, было доказано, что, если выполнено предположение А.2.8,
то действие y0 ? A является четко недоминируемым [82] тогда и
только тогда, когда существует результат деятельности z0 ? A0,
такой, что пара (y0, z0) является решением следующей задачи ЧМП:
˜
(28) f(?, z) > max, P (z, y) = 1, y ? A, z ? A0.
В соответствии с результатом теоремы 2.3 при использовании
системы стимулирования (25) максимум целевой функции АЭ
достигается в точке z. Кроме того, (25) – минимальная (квазиком-
пенсаторная) система стимулирования, реализующая этот результат
деятельности. В соответствии с (28) множество Q(z) ? A и только
оно [78] будет множеством четко недоминируемых действий, то
˜
есть P ( R A0 (? * ( z )), A) = Q(z).
Значит АЭ выберет одно из четко недоминируемых при данной
системе стимулирования действий. Осталось устранить неопреде-
ленность относительно конкретного выбора АЭ. В рамках ГБ для
этого используется минимум по множеству Q(z), при использова-
нии МГР – максимум (см. выражения (26) и (27)), то есть на втором
этапе (этапе согласованного планирования [19, 78]) центру остается
решить задачу поиска оптимального реализуемого действия АЭ –
см., соответственно, выражения (26) и (27). •
Отметим, что при предельном переходе к соответствующему
?1, z = y
˜
детерминированному случаю (в котором P (z, y) = ? ) из
0, z ? y
?
теоремы 2.6 следует, что оптимальным становится решение (5),
которое оптимально в соответствующей детерминированной зада-
че.



92
?1, z ? [ y (1 ? ? ); y (1 + ? )]
˜
P (z, y) = ?
Пример 6. Пусть где
,
0, z ? [ y (1 ? ? ); y (1 + ? )]
?
? ? [0; 1]1. Q(z) = [z - ?; z + ?].
Тогда Вычислим множество
z z
]. Тогда оптимальное решение имеет вид:
Q(z) = [ ;
1+ ? 1? ?
z* = arg min { min [c(z) + ?(T - T0 - y)]} =
z? A0 y?Q ( z )

z
= arg min [c(z) - ?(T - T0 - )].
1+ ?
z? A0
Получили скалярную задачу оптимизации. В случае линейных
штрафов получаем, что оптимально решение (6), где
?0
?(?) = c’-1( ).
1+ ?
Отметим, что полученное решение совпадает с решением, оп-
тимальным в случае соответствующей интервальной неопределен-
ности (см. теоремы 2.4а и 2.4б), то есть методы учета этих двух
типов неопределенности согласованы.
При отсутствии неопределенности (? = 0) получаем решение, в
точности совпадающее с (5). Легко проверить, что с ростом неоп-
ределенности (увеличением ? ? [0; 1]) эффективность стимулиро-
вания не возрастает. •
В случае интервальной и вероятностной неопределенности и
симметричной информированности участников АС относительно
времени завершения проекта устранение неопределенности произ-
водится, соответственно, применением МГР и ожидаемых полезно-
стей, то есть методами, исследованными достаточно подробно [79].
Рассматривать их адаптацию к частному случаю задачи оператив-
ного управления временем завершения проекта мы не будем, по-
этому сконцентрируем основное внимание на случае нечеткой
неопределенности относительно времени завершения проекта,
который, практически, не исследован в литературе по управлению
АС в условиях неопределенности.

1
При данной функции принадлежности нечеткая неопределенность
может рассматриваться как интервальная неопределенность – см.
обсуждение совпадения соответствующих решений ниже.
93
2.2.5. Внешняя нечеткая неопределенность
относительно времени завершения проекта

Предположим, что результат деятельности АЭ совпадает с его
действием, однако относительно времени T завершения проекта
имеется нечеткая информация: µT(t), µT : [0; +?) > [0; 1]. Задача
оперативного управления заключается в выборе центром системы
стимулирования, которая минимизировала бы его выплаты с уче-
том имеющейся информации.
Воспользовавшись результатом теоремы 2.3, получаем, что
минимальные затраты центра на стимулирование АЭ, побуждаю-
щие последнего сократить продолжительность проекта на величину
y ? 0 равны c(y).
Четкая целевая функция центра равна:
?(y, T) = c(y) + ?(T – T0 – y).
Обозначим Y(T) = Arg min ?(y, T). Множество Y(T) может рас-
y? A
сматриваться как нечеткое отображение µY(t, y): A ? A > [0; 1]
времени окончания проекта в действия АЭ, то есть:
?1, y ? Arg min ? ( y , t )
? y? A
(29) µY(t, y) = ?
0, y ? Arg min ? ( y , t )
?
? y? A
Образом нечеткого множества µT(t) при нечетком отображении
µY(t, y) в соответствии с принципом обобщения [82] будет нечеткое
множество µ(y) с функцией принадлежности
(30) µ(y) = sup min {µT(t); µY(t, y)}.
t ?0
Обозначим Amax = Arg max µ(y) – множество действий АЭ,
y? A
максимизирующих функцию принадлежности (30).
Оптимальным будем считать максимизирующее решение [82],
то есть любое действие из множества Amax. Из вышесказанного
следует справедливость следующей теоремы.
Теорема 2.7. Оптимальной в условиях нечеткой неопределен-
ности относительно времени завершения проекта является сле-
дующая система стимулирования:


94
?c( y ), y ? Amax
(31) ?*(y) = ? .
y ? Amax
?0,
Доказательство теоремы 2.7 повторяет (с учетом выражений
(29)-(31)) доказательство теоремы 2.3 (см. также теорему 2.6 и ее
доказательство) и не приводится.
В предельном (детерминированном) случае нечеткое множест-
?1, t = T
µT(t) µT(t) = ?
во имеет вид а множество
,
0, t ? T
?
Amax = Arg max µ(y) = Arg min ?(y, T) соответствует (5).
y? A
y? A
Пример 7. Рисунки 12 и 13 являются графической иллюстраци-
ей использования теоремы 2.7 для случая линейных штрафов. •


y
y*(t)
?
µT(t) µ(y)




t
t
T0
0 T0 T0+?
Рис. 12. Нечеткое множество µT(t)
Рис. 13. Образ нечеткого множества
продолжительностей проекта
µT(t) в примере 7
в примере 7




2.3. Механизмы планирования

В разделе 2.2 рассмотрены механизмы стимулирования, побу-
ждающие активные элементы сокращать продолжительность вы-
полнения проекта в случае, когда последняя превышает директив-
ные сроки. Анализ механизмов управления в условиях
неопределенности свидетельствует, что с ростом информированно-
сти управляющего органа эффективность оперативного управления
не снижается. Выше были рассмотрены случаи интервальной,
вероятностной и нечеткой внешней неопределенности, то есть
95
неопределенности относительно результатов деятельности АЭ.
Кроме нее в системе может присутствовать внутренняя неопреде-
ленность – недостаточная информированность центра о параметрах
самих активных элементов.
В настоящем разделе рассматриваются механизмы управления
в условиях внутренней неопределенности. В том числе, традицион-
но в качестве одного из методов снижения неопределенности ис-
пользуются механизмы с сообщением информации от более ин-
формированных участников менее информированным. При их
применении возникают две основные задачи – оценки эффективно-
сти и исследования достоверности сообщаемой центру информа-
ции. Обе эти задачи для случая сокращения продолжительности
времени реализации проекта рассматриваются ниже.

2.3.1. Внутренняя интервальная неопределенность
относительно возможностей АЭ

Предположим, что функция затрат c(y, r), удовлетворяющая
при любом допустимом значении параметра r предположению
А.2.4, активного элемента зависит от неизвестного центру парамет-
ра r ? [d; D], относительно которого центру известен лишь диапа-
зон [d; D] его возможных значений (случай внутренней интерваль-
ной неопределенности в соответствии с классификацией, введенной
в [22, 79]). Рассмотрим задачу синтеза оптимальных управляющих
воздействий.
Если, помимо множества возможных значений неопределенно-
го параметра, центр не имеет никакой дополнительной информа-
ции, то он вынужден применять принцип максимального гаранти-
рованного результата (МГР) и решать затем соответствующую
задачу стимулирования.
Запишем условия гарантированной реализуемости некоторого
действия y* ? A системой стимулирования ? ? M:
(1) ? y ? A ? r ? [d; D] ?(y*) – c(y*, r) ? ?(y) – c(y, r).
Положив ?(y) = 0 ? y ? y* и используя А.2.4, оценим по (1) ми-
нимальные затраты центра на стимулирование:
(2) ?(y*) ? max c(y*, r).
r?[ d ; D ]



96
Следовательно, решение задачи синтеза оптимальной системы
стимулирования (по аналогии с теоремой 2.3) имеет вид:
? max c( y * , r ), y = y *
?
(3) ?*(y*, y) = ?r?[ d ; D ] ,
? 0, y?y *
?
где оптимальное действие АЭ y* определяется следующим выраже-
нием:
(4) y* = arg min {?*(y) + ?(T – T0 - y)}.
y?[ 0, T ?T0 ]
Выше при рассмотрении задачи стимулирования в АС с интер-
вальной внешней неопределенностью было показано, что при
асимметричной информированности выигрыш АЭ (значение его
целевой функции на реализуемом центром действии) не ниже, чем
в случае симметричной информированности. Такое же заключение
может быть сделано и для рассматриваемой модели. Выигрыш АЭ
(по сравнению с детерминированным случаем) равен следующей
величине: { max c(y*, r) – c(y*, r)}, причем этот выигрыш не убы-
r?[ d ; D ]
вает с ростом неопределенности (расширением отрезка [d; D]).
Качественно этот факт можно сформулировать следующим обра-
зом: чем меньше знает центр об АЭ, тем это более выгодно для
последнего.
Сделанный вывод справедлив и для многоэлементных АС со
слабо связанными АЭ (см. раздел 2.2.1 выше). Переход осуществ-
ляется следующим образом – для i-го АЭ используется функция
затрат max ci(yi*, ri). Другими словами, вектор {xi} гарантиро-
ri ?[ d i ; Di ]
ванно оптимальных действий АЭ определяется как решение сле-
дующей задачи:
(5) ?(T - T0 - ? x i ) + ? max c i ( x i , ri ) > min .
? xi ?T ?T0
i?I ri ?[ d i ; Di ]
i?I
i?I
Пример 8. Пусть n = 1 и функция затрат АЭ имеет вид:
c(y; r) = y2/2r, а штрафы линейны: ?(t) = ?0 t. Если истинное значе-
ние параметра r известно центру, то, применяя результат теоремы
2.3, получаем, что оптимальное решение имеет вид:



97
?c( y * ), y = y * * ?T ? T0 , T ? T0 + ? 0 r
? (y) = ? ?
*
,y= .
? 0 r , T ? T0 + ? 0 r
y?y *
?
? 0,
Оптимальное значение целевой функции центра при этом рав-
но:
(T ? T0 ) 2
; ?0(T - T0) - ? 0 r / 2}.
?
? (? (y ), y ) = min { 2

<< Пред. стр.

стр. 10
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>