<< Пред. стр.

стр. 11
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

* * *

2r
Если истинное значение параметра затрат АЭ неизвестно цен-
тру, то решение, максимизирующее гарантированный результат,
имеет вид:
? c( y * , d ), y = y * * ? T ? T0 , T ? T0 + ? 0 d
? *
?
=?
g (y) ,y= .
? 0 d , T ? T0 + ? 0 d
y ? y* ?
?0,
Оптимальное гарантированное значение целевой функции цен-
тра при этом равно:
(T ? T0 ) 2
?* (? ; ?0(T - T0) - ? 0 d / 2}.
** 2
*
g (y ), y ) = min {
g
2d
Очевидно, что имеет место:
? r ? [d; D] ?*(?*(y*), y*) ? ? * ( ? g (y*), y*),
*
g
то есть эффективность управления в случае неопределенности
(незнания или неточного знания центром возможностей АЭ) не
выше, чем в условиях полной информированности, причем с рос-
том неопределенности гарантированная эффективность управления
не возрастает. •

2.3.2. Механизмы с сообщением информации

Одним из способов повышения эффективности управления в
условиях неопределенности является сообщение информации от
более информированных участников системы менее информиро-
ванным (в нашем случае – от активных элементов центру). Так как
участники системы обладают свойством активности, в том числе –
способностью к самостоятельному выбору своих действий, то в
общем случае активные элементы сообщат центру такую информа-
цию (не обязательно достоверную), чтобы принятое центром на

98
основании этой информации решение оказалось наиболее выгод-
ным для АЭ [17, 78].
Принцип принятия решений центром на основании информа-
ции, сообщенной АЭ, называется механизмом планирования. Ис-
следование свойств этого механизма, побуждающих АЭ сообщать
достоверную информацию, называется в теории активных систем и
теории принятия решений проблемой манипулируемости
[19, 73, 104, 119, 138, 141, 144].
Рассмотрим сначала одноэлементную АС. Итак, пусть АЭ со-
общает центру оценку s ? [d; D] параметра своей функции затрат.
Механизмом планирования ?(s), s ? S, в данном случае является
отображение множества возможных сообщений S во множество X
планов – параметров функции стимулирования, например - в то
действие, которое центр хотел бы реализовать при данной инфор-
мации о параметрах АЭ, то есть X = A, ?: S > A.
В теории активных систем известен следующий результат: в
системах с одним активным элементом для любого механизма
планирования существует неманипулируемый механизм не мень-
шей эффективности [15, 19, 78]. Этот принцип, называемый также
принципом открытого управления, позволяет достаточно просто
решить задачу синтеза оптимального механизма планирования для
рассматриваемой модели, ограничившись классом механизмов
открытого управления. Содержательно, центр должен принять
сообщения АЭ за истинные и назначить такой план, который был
бы наиболее выгоден для АЭ, если бы истинное значение парамет-
ра его функции затрат совпадало с сообщенным.
Следовательно, если центр использует принцип открытого
управления, то АЭ в общем случае сообщит s ? r и центр будет
вынужден, например, использовать систему стимулирования, ком-
пенсирующую затраты c(y, s), то есть получим задачу стимулиро-
вания, методы решения которой описаны выше.
К сожалению, в многоэлементных АС утверждение об опти-
мальности принципа открытого управления не имеет места. Будем
считать, что центр определяет планы (на основании предоставляе-
мой элементами информации) по процедуре планирования
? : S > X , где S = ? Si , X = ? X i и план, назначаемый i-му
i? I i ?I


99
xi = ? i (s ) , i?I ,
АЭ, будет определяться выражением:
s = (s1, s2, .., sn), s ? S . В качестве моделей поведения АЭ примем
концепции равновесия Нэша и равновесия в доминантных страте-
гиях.
Механизм ? : S > X , в котором АЭ сообщают оценки из
множеств {S i } , называется непрямым механизмом [78, 85]. При
фиксированном соответствии отбора равновесий для непрямого
механизма ?(?) можно построить соответствующий ему прямой
механизм: h ( ˜ ) = ? ( s * ( ˜ )) , где s*( ˜ ) – вектор равновесных по
r r r
˜ стратегий, в котором АЭ сооб-
Нэшу при значениях параметров r
щают непосредственно оценки своих параметров. Если в соответст-
вующем прямом механизме сообщение достоверной информации
является доминантной стратегией, то он называется эквивалентным
прямым механизмом [78].
В предположении рационального поведения элементов при
фиксированных планах выбираемые ими действия yi? будут макси-
мизировать соответствующие целевые функции, то есть:
yi? ? Pi ( xi , ri ) = Argmax f i ( xi , yi , ri ) . Таким образом, можно
y i ? Ai
говорить о функции полезности АЭ (в игре с сообщением инфор-
мации функции полезности АЭ называют функциями предпочтения
[22, 78]): ? i ( xi , ri ) = max f i ( xi , yi , ri ) .
y i ? Ai
Очевидно, в механизмах с сообщением информации АЭ будут
руководствоваться своей собственной полезностью и необязательно
будут сообщать достоверную информацию. Явление сообщения АЭ
недостоверной информации называется манипулированием инфор-
мацией, а механизмы, в которых выгодно (является равновесием)
сообщение достоверной информации называются неманипулируе-
мыми. Для прямых механизмов неманипулируемым называется
механизм, в котором при любых типах АЭ сообщение достоверной
информации является равновесием в доминантных стратегиях.
Для механизмов управления проектами задача планирования
(задача сокращения продолжительности производственного цикла)
рассматривалась в работах [8, 18, 22]: для частного случая функций
затрат АЭ типа Кобба-Дугласа [48] построен оптимальный немани-
100
пулируемый механизм. Этот результат, наряду с механизмами
опережающего самоконтроля [18, 21] и другими, естественно,
может использоваться и при применении методики освоенного
объема (см. пример ниже).
Пусть центр использует следующий механизм планирования –
назначаемые АЭ планы {xi} определяются в результате решения
следующей задачи1:
(6) ?(T - T0 - ? x i ) + ? c i ( x i , s i ) > min .
? xi ?T ?T0
i?I i?I
i?I
Содержательно, решая задачу (6), центр определяет вектор
действий АЭ, реализация которого при использовании соответст-
вующей компенсаторной системы стимулирования минимизирует
суммарные выплаты центра при условии, что сообщенная АЭ
информация считается истинной.
Отметим, что, если функция штрафов линейна, то получаем
АС со слабо связанными АЭ (задача (6) распадается на набор одно-
элементных задач, для которых существует общее бюджетное
ограничение).
Очевидно, что в условиях внутренней интервальной неопреде-
ленности эффективность управления при использовании механиз-
мов с сообщением информации не ниже, чем при использовании
метода максимального гарантированного результата. Справедли-
вость этого утверждения следует сравнения максимальных значе-
ний целевых функций в задачах (5) и (6).
Пусть зависимость затрат АЭ от параметра удовлетворяет сле-
дующему предположению:
(7) ? y ? A ? r1 ? r2 c(y, r1) ? c(y, r2).
Если имеет место (7), то при использовании центром механиз-
ма планирования (6) выполнена гипотеза реальных оценок: ? i ? I
si < ri. Справедливость этого утверждения следует из того, что
целевая функция i-го АЭ при выборе им действия xi, удовлетво-
ряющего (6), имеет вид:
(8) fi(xi, ri, si) = ci(xi, si) – ci(xi, ri), i ? I.


1
Содержательно, центр согласованно распределяет величины сокраще-
ний продолжительностей критических операций между соответствую-
щими исполнителями.
101
В силу условия индивидуальной рациональности значение це-
левой функции (8) должно быть неотрицательно, поэтому из (7)
следует, что ? i ? I si < ri.
Пример 9. Пусть функции затрат АЭ имеют вид1:
ci(yi, ri) = ri ?(yi / ri), i ? I. Если функция штрафов центра линейна,
то, обозначая ?(?) = ?’-1(?) и предполагая, что ? ri ? (T-T0)/?(?0),
i?I
= si?(?0).
получим, что решение задачи (6) имеет вид: yi*(si)
Функция предпочтения i-го АЭ имеет вид:
(9) ?i(si, ri) = max fi(yi, ri, si) = ci(xi, si) – ci(xi, ri), i ? I.
yi ?Ai
В рассматриваемом примере
?i(si, ri) = si ?(?(?0)) - ri ?(?(?0)si/ri).
Так как функция предпочтения каждого АЭ зависит только от
его собственной стратегии si, то в равновесии АЭ сообщат:
(10) si*(ri) = max {di, ri min {1, ?[?(?(?0))/?(?0)]}}, i ? I.
Итак, у каждого АЭ существует доминантная стратегия (10),
следовательно, можно воспользоваться принципом открытого
управления.
Например, для функций Кобба-Дугласа выполнено:
1
?
?[?(?(?0))/?(?0) = ? ? 1, ? ?1
то есть при квадратичных затратах si (ri) = ri / 2 и т.д.2 Легко ви-
*

деть, что при ? > 1 si* > ri. •
Итак, мы рассмотрели задачу синтеза неманипулируемого ме-
ханизма, причем вопрос о его эффективности не ставился. Ниже


Частным случаем функции ?(?) является функция Кобба-Дугласа:
1

?(z) = z?/?.
2
Отметим, что мы решили задачу синтеза неманипулируемого механиз-
ма для рассматриваемой в примере модели. При этом оказалось, что в
исходном (непрямом) механизме сообщение достоверной информации не
является равновесной стратегией АЭ. На первый взгляд этот факт
противоречит серии теорем об оптимальности принципа открытого
управления в механизмах внутренних цен [6, 76, 78]. Противоречие, одна-
ко, кажущееся – в упомянутых работах использовалась пропорциональная
система стимулирования, а в приведенном примере – квазикомпенсатор-
ная (см. также механизмы В-типа в [76]).
102
рассматривается класс активных систем, для которых также суще-
ствует неманипулируемый механизм планирования.
Введем следующее предположение.
А.2.9. Функция штрафов и функции затрат АЭ линейны, при-
чем относительно функций затрат АЭ центр не имеет никакой
дополнительной информации1.
В рамках предположения А.2.9 задача (6) примет вид:
(11) ? x i ( s i ? ? 0 ) > min ,
? xi ?T ?T0
i?I
i?I
где si – сообщение i-го АЭ центру о коэффициенте ri линейной
функции затрат: ci(yi, ri) = ri yi, i ? I.
Пусть функции затрат АЭ упорядочены следующим образом:
(12) r1 ? r2 ? … ? rn.
Примем следующую договоренность: если несколько АЭ со-
общили одинаковые заявки, то приоритет имеет АЭ с меньшим
номером.
Если выполнено (12), то решение задачи (11) очевидно: упоря-
дочиваем АЭ в порядке возрастания значений сообщенных ими
параметров и назначаем планы в соответствии со следующей про-
цедурой:
(13) x1* = T – T0, если s1 ? ?0, иначе x1* = 0; xi* = 0, i = 2, n .
При этом ненулевой план получает единственный АЭ (если он
существует), а именно тот, который сообщил минимальное значе-
ние коэффициента (не превосходящее ставки ?0). Содержательно,
если s1 ? ?0, то центру выгоднее платить внешние штрафы, чем
сокращать продолжительность проекта.
Теорема 2.8. Если выполнено предположение А.2.9, то равно-
весие в механизме (13) имеет следующую структуру2:
(14) если ?0 < r1, то si* = ri, xi* = 0, i ? I;
(15) если ?0 ? r1, то s1* = r2, x1* = T - T0, si* = ri, xi* = 0, i = 2, n .
Более того, соответствующий прямой механизм неманипули-
руем.


1
В терминах рассмотренной выше модели последнее утверждение озна-
чает, что ? i ? I di = 0, Di = +?.
2
Отметим, что (15) является аукционным равновесием [64, 86, 143].
103
Доказательство теоремы 2.8 заключается в построении соот-
ветствующего механизму (13) прямого механизма планирования.
В рассматриваемой модели гипотеза реальных оценок имеет
вид: si ? ri, i ? I, то есть ни один из АЭ не сообщит оценку, строго
меньшую истинного значения (в противном случае, попадая в
число победителей при использовании центром компенсаторной
системы стимулирования он получит строго отрицательную полез-
ность). С другой стороны, если некоторый АЭ имеет значение ri
строго меньшее ставки ?0, то центру невыгодно включать его в
число победителей. Поэтому введем множества ?i(?0, ri) = [ri, ?0],
i ? I. Очевидно, множество потенциальных победителей I’ есть
множество тех АЭ, у которых соответствующее множество ?i
непусто: I’ = {i ? I | ?i(?0, ri) ? ?}.
Рассмотрим два случая. Первый – когда ?0 < r1. Понятно, что в
этом случае центру невыгодно поручать сокращение продолжи-
тельности проекта ни одному из АЭ: xi* = 0, i ? I, поэтому в равно-
весии они сообщат минимальные (в силу гипотезы реальных оце-
нок) оценки, то есть si* = ri, i ? I.
Во втором случай один или несколько АЭ имеют истинные
значения параметров, не превосходящие ставку штрафов, то есть
?0 ? r1. При этом первый АЭ является монополистом и может уве-
личивать свою заявку в диапазоне [r1; r2]. Сообщая s1 > r2, первый
АЭ рискует не попасть в число победителей, так как в этом случае
второй АЭ может «перехватить инициативу», сообщив r2 ? s2 ? s1.
Аналогичным образом определяются множества диктаторства [85]
всех АЭ. Следовательно, все АЭ, кроме первого (диктатора) сооб-
щат минимальные заявки и не войдут в число победителей: si* = ri,
xi* = 0, i = 2, n . Первый АЭ сообщит s1* = min {?0; r2} и будет
единственным победителем: x1* = T - T0. Сообщать меньшее значе-
ние заявки ему невыгодно, так как при этом уменьшается значение
его целевой функции.
Выражения (14)-(15) определяют соответствующий исходному
прямой механизм, в котором АЭ сообщают непосредственно оцен-
ки своих параметров, а центр восстанавливает равновесие в исход-
ном непрямом механизме по (14)-(15). •
Оценим эффективность K1 механизма (13). Если бы центру бы-
ли достоверно известны истинные значения параметров АЭ, то при
104
?0 ? r1, он назначил бы победителем первого АЭ, заплатив цену r1
за единицу сокращения продолжительности проекта. Значение
целевой функции центра при этом было бы равно K* = (T –
T0) min {r1; ?0}. В механизме (13) цена за единицу сокращения
продолжительности проекта равна min {?0; r2}, а значение целевой
функции центра равно K1 = (T – T0) min {?0; r2}. Разность
K1 – K* = (T – T0) (min {?0; r2} - min {?0; r1}) ? 0
определяет потери эффективности, обусловленные неполной ин-
формированностью центра.
В более общем случае, то есть если существуют ограничения
на максимальные значения действий АЭ: Ai = [0; Li], то величину
(T – T0) сокращения времени выполнения проекта следует распре-
делять последовательно в порядке возрастания номеров АЭ (в
упорядочении значений сообщенных ими параметров) при условии,
что коэффициент штрафов ?0 не меньше сообщенного коэффициен-
та. Прежде чем рассматривать соответствующий механизм плани-
рования, решим соответствующую детерминированную задачу, то
есть найдем решение, которое оптимально в условиях полной
информированности центра.
Итак, пусть центру известны значения {ri} и он распределяет
величину требуемого сокращения продолжительности проекта
?T = (T –T0) между АЭ следующим образом: если ?0 ? r1 и T –
T0 ? L1, то x1 = L1, если ?0 ? r2 и T – T0 – L1 ? L2 , то x2 = L2 и так
далее до тех пор, пока не найдется АЭ с номером k такой, что либо
k ?1
? Li < T ? T0
rk+1 > ?0 (далее - первый случай), либо и
i =1
k
? Li ? T ? T0 (далее – второй случай, который изображен на
i =1
рисунке 14). Тогда равновесное сокращение продолжительности
проекта равно:
k
? Li }.
(16) ?T = min {T – T0;
*

i =1
Суммарные затраты центра равны:
k k
? ri Li - max {[ ? Li - (T–T0)] rk, 0} + ?0 (T–T0-?T*).
(17) C*(?T*) =
i =1 i =1

105
Зная (16) и (17), можно определить среднюю стоимость для
центра сокращения продолжительности проекта на единицу време-
ни (см. рисунок 14):
(18) ?*(?T*) = C*(?T*) / ?T*.
Очевидно, что ?* ? ?0, но данное соотношение не может яв-
ляться критерием включения соответствующего АЭ во множество
победителей.



y = T - T0
c(y) – кусочно-
линейная функция,
k=3
(?0?r3, ?T*=T–T0)
c*(?T*)


r3
?*
r2
y
r1
0 L1+L2 L1+L2+L3
L1

Рис. 14. Затраты центра на сокращение продолжитель-
ности проекта в условиях полной информированности

Сделав маленькое отступление, отметим, что двойственной
(содержательно, но не формально) к рассматриваемой модели
является модель отбора проектов в методе «затраты-
эффективность». Напомним, что в этом методе центр имеет воз-
можность привлекать внешние средства по ставке ?0 и имеет набор
проектов, требующих каждый некоторого финансирования и при-
носящих определенную прибыль, причем рентабельности проектов
неизвестны центру и сообщаются АЭ. Проекты выстраиваются в
порядке убывания рентабельности (получается кусочно-линейная
вогнутая функция – см. рисунок 14) и получают финансирование в
порядке убывания рентабельности до тех пор, пока не закончится
имеющийся у центра ресурс, или пока рентабельность очередного
106
проекта не станет ниже ставки привлечения внешних средств.
Понятно, что результаты исследования рассматриваемой в настоя-
щем разделе модели АС с сообщением информации могут быть
использованы в методе «затраты-эффективность».
Имея решение (16)-(18) детерминированной задачи, перейдем
к анализу случая, когда истинные затраты АЭ неизвестны центру.
Если центр использует вместо истинных значений параметров
функций затрат АЭ сообщенные ими заявки, то равновесие и его
свойства определяются следующей теоремой.
Теорема 2.9. Если возможности АЭ ограничены, то равновесие
имеет следующую структуру1:
(19) si* = ri, i > k; si* = min {?0; rk+1}, i = 1, k ;
k ?1
? Li }.
= Li, i = 1, k ? 1 , xk = min {Lk; T – T0 -
xi* xi* *
(20) = 0, i > k;
i =1
Доказательство очевидно и не приводится . 2

Равновесное сокращение продолжительности проекта равно
как и в случае полной информированности ?T*, определяемой (16)
(содержательно совпадение для случаев полной и неполной инфор-
мированности обеспечивается за счет гипотезы реальных оценок).
Значение целевой функции центра в равновесии (19)-(20) (то
есть суммарные затраты центра) равно:
k
? min{? 0 , rk +1 }Li

<< Пред. стр.

стр. 11
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>