<< Пред. стр.

стр. 6
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

при ограничении = X0, u(t) = c’(t) или (2).
0
Задача (10) может также интерпретироваться, например, как
следующая задача финансового планирования. Пусть проект вы-
полняется за счет заемных средств (кредита) с процентной ставкой
?, причем выплаты по кредиту производятся сразу по завершении
проекта, то есть в момент времени T. Тогда задача финансового
планирования заключается в определении допустимого графика
заимствования средств u(t) с учетом процентов по кредиту (отра-
жаемых дисконтирующим множителем ?):
T
? (T ?t )
? u (t ) e dt > min
KC(u(t), T) = ,
u ( ?)?U , T ? 0
0
dx(t)/dt = w0(u(t)), x(0) = 0, x(T) = X0.
51
Сформулированная задача финансового планирования являет-
ся задачей терминального управления [12, 59, 71].
Таким образом, в условиях полной информированности при
рассмотрении проекта как единого целого задача планирования
(определения оптимальных плановых значений переменных, кото-
рые можно в рамках рассматриваемой модели или задачи отнести к
управляющим) сводится к известным оптимизационным задачам
(задачам оптимального управления). Проведенное в настоящем
разделе рассмотрение позволяет сделать несколько важных мето-
дологических выводов.
Во-первых, задача планирования рассматривалась в предполо-
жении, что плановые значения всех показателей определяются до
момента начала реализации проекта. В то же время, если в ходе
реализации проекта обнаруживается отклонение фактических
значений показателей освоенного объема от плановых или измене-
ние суммарного объема и т.д., то задачи (7)-(10) могут решаться
«заново» с учетом имеющейся информации. При этом техника
решения останется без изменений, изменятся лишь «начальное»
значение времени (оно будет равно не нулевому, а текущему),
«начальное» значение освоенного объема (оно также будет равно
не нулевому, а текущему) и т.д. Другими словами, задачи оптими-
зации параметров проекта (задачи оптимального планирования),
рассмотренные в настоящем разделе, без значительных модифика-
ций могут решаться в ходе реализации проекта (как задачи опера-
тивного управления) с учетом накопленной информации.
Второй вывод заключается в следующем. Если на этапе плани-
рования имелась неопределенность относительно состояния приро-
ды, то в ходе реализации проекта при решении задач оперативного
управления эта неопределенность может снижаться за счет имею-
щейся информации об истории реализации проекта. Для этого при
решении соответствующих оптимизационных задач может исполь-
зоваться хорошо развитая техника идентификации [62, 99], в част-
ности – методы стохастической аппроксимации, дифференциаль-
ных и повторяющихся игр и т.д. [73, 83, 97, 98, 143] (см. также
раздел 1.2).
И, наконец, в третьих, в качестве гипотезы можно предполо-
жить, что при представлении проекта в виде комплекса зависимых
операций оптимизационные задачи для показателей освоенного
52
объема операций могут формулироваться и решаться по аналогии с
рассмотренными выше задачами. В пользу этой гипотезы, в частно-
сти, говорит тот факт, что в теории сетевого планирования и управ-
ления на сегодняшний день накоплен богатый опыт теоретического
решения и практической реализации (в виде прикладных компью-
терных программ) подобного рода задач. Более подробно задачи
агрегирования (при представлении проекта в виде комплекса взаи-
мосвязанных операций) показателей освоенного объема рассматри-
ваются в разделе 1.4.
Поэтому можно считать, что в рамках рассматриваемой модели
для задач планирования и оперативного управления проектом в
условиях полной информированности существуют эффективные
методы решения1.

1.4. Методы агрегирования показателей освоенного объема

В разделах 1.1–1.3 рассматривалось описание проекта в целом
в терминах показателей освоенного объема. Агрегированное опи-
сание проекта в виде одной операции является первым шагом в
создании практически любой [8, 9, 13, 14, 18, 20, 23, 35, 44, 57 и
др.] модели управления проектом. Однако большинство реальных
проектов имеют сложную структуру и включают множество опера-
ций, зависимости между которыми могут иметь достаточно слож-
ный вид. Различные представления сложных проектов в виде ком-
плексов зависимых операций можно найти в [14, 37, 39 и др.].
Более того, появление и интенсивное развитие сетевого планирова-
ния и управления (СПУ) обусловлено именно необходимостью
учета зависимостей между операциями.
На сегодняшний день в теории СПУ накоплен богатый опыт
анализа и синтеза сетевых моделей проектов (начиная от простей-
ших, учитывающих технологические связи при оптимизации вре-
мени выполнения проекта [20, 25 и др.], и заканчивая обобщенны-
ми сетевыми моделями, представляющими мощный и гибко
настраиваемый инструмент анализа, позволяющий учитывать
1
Отдельный вопрос заключается в том, насколько полно на сегодняшний
день эти методы реализованы в существующих методических и про-
граммных средствах управления проектами, однако исследование этого
вопроса выходит за рамки настоящей работы (см. также раздел 3.1).
53
множество типов зависимостей, учитывать неопределенность и
решать широкий спектр оптимизационных задач [33, 34]), которые
реализованы в виде пакетов прикладных программ.
Одной из основных задач, решаемых при построении модели
проекта является задача агрегирования, то есть задача представле-
ния комплекса операций в виде комплекса с меньшим числом
операций. Необходимость агрегирования очевидна – в крупных
проектах менеджеры высшего звена не имеют возможности обра-
батывать (даже в условиях автоматизации) информацию о всех
деталях выполнения отдельных операций нижнего уровня. Однако
агрегирование (как любое сжатие информации [8, 32, 65, 76]) при-
водит к потерям, которые отрицательно сказываются на эффектив-
ности управления. Поэтому задачу агрегирования качественно
можно сформулировать как задачу поиска оптимального (или
рационального) компромисса между уменьшением информацион-
ной нагрузки на управляющие органы и снижением эффективности
управления, вызванным недостаточностью информации. Общие
подходы к решению проблем агрегирования при решении задач
управления иерархическими системами рассмотрены в [76]. В
настоящем разделе рассматриваются детальное и агрегированное
описание комплекса операций в терминах показателей освоенного
объема, формулируется проблема агрегирования и предлагаются
подходы к ее решению для ряда частных случаев.
Так как и проект в целом, и каждая из составляющих его опе-
раций могут быть описаны основными и производными показате-
лями освоенного объема (см. раздел 1.2), то основной акцент сле-
дует сделать на установление взаимосвязи между этими
показателями. Поэтому предположим, что проект состоит из n
операций (см. рисунок 11), каждая из которых характеризуется
следующими основными показателями освоенного объема:
X0i – суммарный объем i-ой операции, i ? I = {1, 2, …, n};
C0i – планируемые суммарные затраты на операцию;
Н
T0i – планируемое время начала операции;
К
T0i – планируемое время окончания операции;
К Н
T0i = T0i - T0i - планируемая продолжительность операции;
x0i(t) – планируемая динамика объемов работ по операции;

54
c0i(t) – планируемая динамика затрат на операцию;
Ti Н – фактическое время начала операции;
Ti К – фактическое время окончания операции;
xi(t) - освоенный объем операции;
ci(t) – фактическая динамика затрат на операцию;
Ti = Ti К - Ti Н - фактическая продолжительность операции;
Ci – фактические суммарные затраты на операцию.

ПРОЕКТ


X0i,C0i
К
Н план
T0i
T0i
X0i,Ci i-я операция
1-я операция К
Н факт
Ti
Ti ан
X0n,C0n
X01,C01
К
Н план
К
Н план T0n
T0n
T01
T01
X0n,Cn
X01,C1
TnК
TnН факт
T1К
T1Н факт
ан
ан
n-я операция


Рис. 11. Представление проекта в виде комплекса операций

Параметр операции (интенсивность): wi(ui), или в более общем
случае – wi ( xi (t ), ui (t ), t ) , определяет скорость изменения объема:
dxi (t )
= wi ( ui (t )) или в более общем случае
dt
dxi (t )
= wi ( xi (t ), ui (t ), t ) , xi( Ti Н ) = 0, xi( Ti К ) = X0i.
dt
55
Все производные показатели освоенного объема для операций
вводятся по аналогии с производными показателями проекта в
целом (см. раздел 1.2):
?сi(t) = c0i(t) – ci(t) - разность между плановыми и фактически-
ми затратами на операцию;
?xi(t) = x0i(t) – xi(t) - разность между плановым и освоенным
объемом операции;
?i(t) = xi(t) / x0i(t) – показатель освоенного объема, характери-
зует выполнение плана по объему;
?i(t) = ci(t) / c0i(t) – показатель динамики затрат, характеризует
соответствие поступления средств директивному графику;
?i(t) = xi(t) / ci(t) – эффективность использования средств;
?
c0i1 (ci(t)) – текущая задержка по затратам;
?сi(t) = t -
?
x 0i1 (xi(t)) – текущая задержка по объему;
?xi(t) = t -
e0i = X0i / C0i – плановая эффективность операции;
e0i(t) = x0i(t) / c0i(t) = ?i(t) ?i(t) / ?i(t) – плановая эффективность
использования средств;
ei = Xi / Ci – фактическая эффективность операции.
Агрегирование показателей освоенного объема.
При агрегировании временных (t – «физическое» время) и фи-
нансовых показателей проблем, как правило, не возникает:
T0Н = min T0i - планируемое время начала проекта (в агре-
Н
i =1, n

гированном описании проекта, как правило, считается, что T0Н =
0);
T0К = max T0i - планируемое время окончания проекта;
К
i =1, n

T Н = min Ti Н - фактическое время начала проекта;
i =1, n

T К = max Ti К - фактическое время окончания проекта;
i =1, n
n
? C0i – планируемые суммарные затраты на проект;
C0 =
i =1



56
n
? Ci – фактические суммарные затраты на проект;
C=
i =1
n
? c0i(t) – планируемая динамика затрат на проект;
c0(t) =
i =1
n n
?c ?
' '
u0i(t) – плановая динамика по-
c
u0(t) = 0 (t) = i 0 (t) =
i =1 i =1
требления ресурсов;
n
? ci(t) – фактическая динамика затрат на проект
c(t) =
i =1
n n
?c ?
'
ui(t) – фактическая динамика по-
u(t) = c’(t) = (t) =
i
i =1 i =1
требления ресурсов.
Рассмотрим агрегирование показателей освоенного объема.
Введем оператор агрегирования Q(?): ? n > ?1 освоенного объе-
+ +
ма, то есть будем считать что освоенный объем проекта в целом
определяется1 по освоенным объемам операций следующим обра-
зом: x(t) = Q(x1(t), x2(t), …, xn(t)).
Предположим, что оператор агрегирования Q(?) обладает сле-
дующими свойствами (их содержательные интерпретации очевид-
ны):
1. Непрерывность по всем переменным.
2. Монотонность по всем переменным.
3. Q(0, 0, …, 0) = 0, Q(X01, X02, …, X0n) = X0.
Введенные предположения о свойствах оператора агрегирова-
ния необременительны и им удовлетворяет множество различных
операторов. Примером может служить вычисление среднего ариф-
метического2 агрегируемых переменных и т.д.

1
Следует отметить, что выбор того или иного оператора Q(?) должен
быть обусловлен спецификой рассматриваемого проекта и, в первую
очередь, учитывать именно ее. Другими словами, можно условно счи-
тать, что в каждом конкретном случае вид оператора агрегирования
задан «объективно».
2
Использование в качестве операторов агрегирования взвешенных сумм
показателей освоенного объема операций оправданно в случае, когда
57
Пример 2 . Рассмотрим описание проекта как комплекса опе-
раций, для которых в качестве освоенного объема используется
показатель процента выполнения (см. введение): li(t) = xi(t) / X0i
(L0i = 1), тогда li( Ti Н ) = 0, li( Ti К ) = 1, i ? I.
Введем следующие требования, которым должен удовлетво-
рять оператор агрегирования процентов выполнения:
1. Непрерывность по всем переменным.
2. Монотонность по всем переменным.
3. Q(0, 0, …, 0) = 0, Q(X01, X02, …, X0n) = 1.
4. max xi(t) ? Q(x1(t), x2(t), …, xn(t)) ? min xi(t).
i =1, n
i =1, n
5. Условие единогласия: ? y ? [0; 1] Q(y, y, …, y) = y.
Примерами операторов агрегирования процентов выполнения,
удовлетворяющих приведенным пяти требованиям, могут служить:
вычисление максимума, минимума, взвешенных сумм (включая,
естественно, вычисление среднего арифметического) и т.д., то есть
все операции, которые используются для процентов выполнения
(см. введение).
n n
? ? i li , ??i
?i > 0,
Например, если Q(?) = = 1, то Q(?):
i =1 i =1
[0; 1] > [0; 1], а интенсивность выполнения проекта в целом
n

?i
n
? wi(ui(t)). •
определяется следующим образом: w(t) =
X 0i
i =1
Таким образом, следуя определению, приведенному в
[4, 18, 20], под агрегированным описанием проекта будем понимать
его представление в виде агрегированной операции1 объема X0 и
зависимостью w(u(t)) скорости изменения освоенного объема от
количества ресурсов.


работы, выполняемые в рамках различных операций однородны или, как
минимум, сравнимы. А таким свойством они обладают, так как одним из
принципов разработки WBS-структуры является сравнимость пакетов
работ, а освоенные объемы, как правило, оцениваются именно за пакеты
работ.
1
В более общем случае агрегированное описание проекта – его представ-
ление в виде комплекса с меньшим числом операций [8].
58
Значит, если задан оператор агрегирования, то проект в целом
может описываться двумя способами. Первый способ заключается
в использовании агрегированного описания, при котором связь
между освоенным объемом и использованными ресурсами имеет
вид:
dx (t )
= w( u (t )) , x(TН) = 0, x(TК) = X0.
(1)
dt
При этом количество ресурса, используемого в проекте в це-
лом равно сумме ресурсов, используемых в каждой из составляю-
щих его операций (см. выше):
n
?
(2) u(t) = ui(t).
i =1
Второй способ – использование оператора агрегирования осво-
енных объемов операций для определения скорости выполнения
проекта в целом:
?Q ( x1 , x2 , ..., xn )
n
dx (t )
?
(3) = wi(ui(t)).
?xi
dt i =1
Понятно, что эффективность управления (например, значения
критериев, оптимизируемых в рамках задач оптимального управле-
ния, рассмотренных в разделе 1.3) в случае агрегированного описа-
ния проекта не выше, чем в случае детального его описания. Сле-
довательно, возникает вопрос – при использовании каких классов
агрегированных описаний потери в эффективности управления,
вызванные наличием агрегирования, будут равны нулю.
Задача идеального (по времени выполнения проекта) агрегиро-
вания заключается в следующем.
Пусть известны все параметры операций и заданы: оператор
агрегирования Q(?) и класс ограничений ? на затраты c(t) (или класс
ограничений U на количество ресурсов, выделенных для реализа-
ции проекта в целом). Обозначим tmin(c(t)) – минимальная продол-
жительность комплекса операций как решение задачи оптимально-
го распределения ресурсов между операциями. Обозначим
Tmin(c(t)) ? tmin(c(t)) – минимальное время реализации проекта при
представлении его в агрегированном виде.
Величина

59
t min ( c(t ))
(4) ?T(c(t)) = 1 ? ? [0; 1]
Tmin ( c(t ))
называется ошибкой агрегирования по времен выполнения проекта.
Агрегирование, при котором максимальная (по классу ? ограниче-
ний на затраты или по классу U ограничений на ресурсы) из оши-
бок агрегирования: ?T = max ?T(c(t)) равна нулю, называется иде-
c ( t )??
альным1 в классе ? (в классе U).
Если нулевое значение ошибки агрегирования ?T недостижимо,
то есть идеальное агрегирование невозможно, то задача агрегиро-
вания заключается в поиске допустимого оператора агрегирования,
минимизирующего эту ошибку.
Аналогичным образом определяется агрегирование, идеальное
с точки зрения объема ресурсов, упущенной выгоды и других
критериев.
Задача идеального (по финансовым показателям) агрегирова-
ния заключается в следующем.
Обозначим kmax(u(t)) (kmax(w(t))) – максимальное значение кри-
терия k(?) финансовой эффективности для комплекса операций как
решение задачи оптимального распределения ресурсов (интенсив-
ностей) – соответственно случаям 2.1 и 2.2, описанным в разделе

<< Пред. стр.

стр. 6
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>