<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

1.3, между операциями, Kmax(u(t)) (Kmax(w(t))) – соответствующее
максимальное значение критерия финансовой эффективности
проекта при представлении его в агрегированном виде. Величина
K max (u (t ))
(5) ?C(u(t)) = 1 ?
k max (u(t ))




1
В работе [76], посвященной исследованию многоуровневых активных
систем, идеальным было предложено называть агрегирование, при кото-
ром эффективность управления в многоуровневой АС с агрегированием по
модели или по состоянию равна эффективности управления в соответ-
ствующей АС с полной информированностью центра о моделях активных
элементов и подсистем. Таким образом, критерием “качества агрегиро-
вания” выступает эффективность управления.
60
K max ( w(t ))
(?C(w(t)) = 1 ? ) называется ошибкой агрегирования по
k max ( w(t ))
финансовым показателям. Агрегирование, при котором максималь-
ная (по классу U ограничений на ресурсы или, соответственно, по
классу W ограничений на интенсивности) из ошибок агрегирова-
ния: ?C = max ?C(u(t)) (?C = max ?C(w(t)) равна нулю, называется
u ( t )?U w( t )?W
идеальным в классе U (соответственно, в классе W).
Подчеркнем, что утверждение о том, что некоторый оператор
агрегирования является идеальным требует конкретизации: во-
первых, ошибка агрегирования по какому из параметров (время,
ресурсы и т.д.) равна нулю, и, во-вторых, при каком классе ограни-
чений (на ресурсы, время и т.д.) рассматривается агрегирование.
Исследованию проблемы идеального агрегирования в литера-
туре по управлению проектами и СПУ посвящено значительное
число работ [8, 18, 23, 96]. Опишем кратко некоторые из результа-
тов.
Предположим, что операции технологически независимы, то
есть каждая из них может начинаться в любой момент времени,
независимо от состояния других операций, и рассмотрим задачу
распределения ресурсов между операциями с целью минимизации
времени выполнения проекта.
Если количество ресурса постоянно во времени
n
( ? ui (t ) = Umax) и wi(?) – вогнутые функции, то:
i =1
- каждая операция выполняется с постоянным уровнем ресур-
са (постоянной скоростью);
- все операции заканчиваются одновременно [13, 14].
Если обозначить wi* - оптимальные (постоянные) скорости
операций, то получим, что wi* = X0i / T, ui = wi?1 (X0i / T), то есть
минимальное время выполнения проекта определяется из следую-
щего уравнения:
n
? wi?1 ( wi* ) = U max .
(6)
i =1

61
n
? u i (t ) ? Umax(t), где Umax(t) –
В [18] рассмотрен случай, когда
i =1
кусочно-постоянная функция. Там же показано, что, если функции
интенсивностей не являются вогнутыми, то возможно построение
множества, являющегося выпуклой оболочки множества пар «ре-
сурсы - интенсивность», граница которого – вогнутая функция, для
которой применимы приведенные выше результаты. В [14, 18]
доказано, что идеальное агрегирование возможно, если wi(?) –
степенные функции1.
Таким образом, в рамках методики освоенного объема возни-
кают несколько классов задач агрегирования показателя освоенного
объема по различным критериям – времени реализации проекта и
финансовым показателям.
В заключение настоящей главы отметим, что до сих пор, рас-
сматривая проект в целом, мы стояли на позициях оперирующей
стороны – руководителя проекта, то есть учитывали в рассматри-
ваемых моделях ту информацию, которой он обладает на момент
принятия решений. При этом считалось, что основные показатели
освоенного объема связаны некоторыми соотношениями (системой
дифференциальных уравнений и т.д.), то есть сам проект с точки
зрения руководителя проекта описывался как пассивная система.
На практике дело обстоит сложнее. Участники проекта – сам
руководитель проекта, исполнители, поставщики и др. обладают
свойством активности, то есть действуют в соответствии с собст-
венными целями и интересами. Поэтому в модели проекта, помимо
неопределенности о состоянии природы (которая может учиты-
ваться и устраняться полностью или частично путем применения
процедур идентификации, вычисления гарантированных и/или
ожидаемых значений в рамках пассивной модели), необходимо
учитывать свойство активности управляющего органа и управляе-
мых субъектов.
Перечисленные проблемы и задачи обуславливают последова-
тельность дальнейшего изложения материала настоящей работы.


1
Следует отметить, что случай степенных интенсивностей является
хрестоматийным примером, в котором агрегирование является идеаль-
ным [8, 9, 18, 21, 76, 110].
62
Умея решать задачи оперативного управления для проекта в
целом и для комплекса операций (результаты первой главы), а
также оценив потери эффективности, вызванные переходом к
агрегированному описанию проекта в рамках методики освоенного
объема, можно рассматривать задачу синтеза механизмов опера-
тивного управления проектами с учетом факторов активности
участников и агрегированного описания, что и делается во второй
главе настоящей работы.
Так как одной из важнейших характеристик проекта является
время его завершения, то во второй главе в основном рассматрива-
ются такие механизмы оперативного управления проектами, в
которых основной акцент делается именно на снижение продолжи-
тельности проекта, точнее – на обеспечение совпадения его плано-
вой и фактической продолжительности. С этой целью рассматри-
ваются задачи оценки времени завершения проекта на основании
мнений экспертов (механизмы экспертизы – раздел 2.1); задачи
мотивации исполнителей, то есть побуждения их к сокращению
продолжительности проекта, в том числе с учетом неопределенно-
сти того или иного типа или вида (механизмы стимулирования –
раздел 2.2); задачи определения оптимальных значений параметров
проекта (в том числе – параметров системы стимулирования) на
основании информации, сообщаемой исполнителями руководителю
проекта (механизмы планирования – раздел 2.3).




63
Глава 2. Механизмы оперативного управления проектами

Во второй главе настоящей работы рассматриваются три об-
ширных класса механизмов управления проектами, учитывающих
активность как управляющего органа, так и управляемых субъек-
тов, и нацеленных, в основном, на оптимизацию такой важнейшей
характеристики проекта как фактическое время1 его завершения.
Первым классом механизмов, рассматриваемым в разделе 2.1,
являются механизмы получения информации о возможной про-
должительности проекта от лиц (экспертов), обладающих большей
информацией по этому вопросу, чем руководитель проекта. Если
эксперты заинтересованы в результатах экспертизы, то возникает
проблема манипулируемости (целенаправленного искажения ими
сообщаемой информации), решение которой для случая сообщения
экспертами скалярных оценок описано в [15]. Однако, во многих
случаях эксперту проще сформулировать свое мнение в нечетком
виде, поэтому ниже рассматриваются нечеткие механизмы актив-
ной экспертизы, оперирующие нечеткими мнениями экспертов.
Вторым классом механизмов, рассматриваемым в разделе 2.2,
являются механизмы стимулирования, в которых решается задача
синтеза поощрений исполнителей, при которых они были бы
готовы сократить продолжительность проекта на оптимальную с
точки зрения проект-менеджера (с учетом затрат на стимулирова-
ние исполнителей) величину. Помимо изучения детерминирован-
ных моделей, то есть моделей проектов (рассматриваемых как
активные системы), функционирующих в условиях полной инфор-
мированности, ниже рассматриваются задачи управления продол-


1
В теории сетевого планирования и управления (СПУ) ключевым поня-
тием является понятие критического пути, поэтому когда речь идет о
сокращении продолжительности проекта, в первую очередь необходимо
сокращать критические операции, причем величина сокращения, очевид-
но, не должна превышать минимальный из резервов околокритических
операций. Следовательно, можно рассматривать по отдельности
задачи сокращения каждой из критических операций, то есть в рамках
методологии СПУ достаточно ограничиться рассмотрением набора
одноэлементных задач управления (в терминологии теории активных
систем [22]).
64
жительностью проекта за счет использования механизмов мотива-
ции в условиях неопределенности.
Одним из способов снижения неопределенности является со-
общение информации от более информированных участников
системы менее информированным. На основании сообщенной
исполнителями руководителю проекта информации последний
определяет значения управляющих параметров, то есть использует
механизмы планирования, рассматриваемые в разделе 2.3. Для
механизмов планирования исследуется задача манипулируемости
и показывается, что использование механизмов с сообщением
информации, даже в условиях манипулирования со стороны ис-
полнителей, не снижает эффективности управления.

2.1. Механизмы нечеткой активной экспертизы

Под механизмом активной экспертизы понимается следующая
модель [15, 17, 21, 43, 76]. Пусть имеются n активных элементов
(АЭ) – экспертов [60, 61], каждый из которых имеет собственные
представления ri ? [d; D] ? ?1 (ri является точкой пика однопико-
вой [22, 78] функций предпочтения i-го АЭ) об оцениваемой ска-
лярной величине и сообщает центру информацию si ? [d; D],
i ? I = {1, 2, …, n} о своих предпочтениях. Результат экспертизы
(итоговое мнение, коллективное решение и т.д.) x ? [d; D] опреде-
ляется в соответствии с процедурой планирования ?(s), то есть x =
?(s), где s = (s1, s2, …, sn) – вектор сообщений экспертов.
Относительно процедуры планирования предполагают:
А.2.1. ?(?) - непрерывна, строго монотонно возрастает по всем
переменным и удовлетворяет условию единогласия: ? z ? [d; D]
?(z, z, ..., z) = z.
Без потери общности можно положить d = 0, D = 1.
Если предположить, что каждый из экспертов заинтересован в
том, чтобы результат экспертизы был максимально близок к его
мнению, то в общем случае он будет сообщать недостоверную
информацию, стремясь повлиять на результат в требуемую с его
точки зрения сторону. Следовательно, возникает проблема мани-
пулируемости механизма активной экспертизы.
В работе [15] доказано, что для любого механизма экспертизы,
удовлетворяющего введенным выше предположениям, существует
65
эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм, причем
итоговое мнение в равновесии определяется совокупностью ис-
тинных мнений (иногда называемых их идеальными точками)
N
экспертов r = {ri} и числами ?(?) = {?i(?)} , определяемыми
i =0
следующим образом: если собственные представления всех экс-
пертов различны и упорядочены в порядке возрастания, то
(1) ?k(?) = ? ( 0,0,...,0 , 1,1,...1 ), k = 0, n .
123 1 3 2
n? k
k
При этом равновесное итоговое мнение (коллективное реше-
ние) x* определяется [15]:
(2) x*(r, ?(?)) = max min (?k-1, rk).
k =1, n
Понятно, что последовательность ?(?) зависит от упорядоче-
ния идеальных точек экспертов. В общем случае существует 2n
разбиений вида (1), однако, так как (2) является соответствующим
механизму ? прямым механизмом, все рассуждения можно прово-
дить для некоторого фиксированного упорядочения.
Кроме того, в настоящем разделе мы ограничимся анонимны-
ми механизмами активной экспертизы, то есть механизмами,
симметричными относительно перестановок АЭ. Если механизм
экспертизы является анонимным, то разбиение (1) единственно и
не зависит от упорядочений истинных мнений экспертов.
Определим линейный механизм активной экспертизы [76]:
n
?? k sk
(3) ?L(s) = ,
k =1
n
?? k
где ?k ? 0, = 1. Последовательность (1) для линейного
k =1
механизма имеет вид:
k
? ? i , k = 1, n , ?0(?L) = 1.
(4) ?k(?L) = 1 -
i =1
Очевидно, у любого анонимного механизма последователь-
ность ?(?) разбивает отрезок [0; 1] на N равных частей, в частности
- у анонимного линейного механизма экспертизы ?i = 1/N. В рабо-
те [76] для анонимных механизмов экспертизы доказано, что в
66
многоуровневых АС они допускают произвольную децентрализа-
цию. Кроме того, в упомянутой работе доказано, что для любого
механизма экспертизы в двухуровневой АС существует эквива-
лентный линейный механизм экспертизы, причем при доказатель-
стве этого факта устанавливается следующая взаимосвязь между
исходным (нелинейным) механизмом экспертизы и соответствую-
щим ему линейным механизмом:
(5) ?k = ?k-1 - ?k, k = 1, n ,
и любой механизм вида (3), являющийся механизмом экспертизы,
удовлетворяет ?k > 0, k = 1, n , и для любого механизма экспертизы
все элементы последовательности ?(?), определяемой (1), различ-
ны.
При нечетном числе экспертов анонимный механизм активной
экспертизы является оптимальным (в смысле погрешности проце-
дуры принятия решений в ситуации равновесия относительно
базовой процедуры) в классе линейных механизмов [76], и, следо-
вательно (см. выше), в классе произвольных механизмов эксперти-
зы с соответствующим фиксированным упорядочением истинных
мнений экспертов.
Таким образом, мы привели известные результаты исследова-
ния механизмов активной экспертизы, позволяющие определять
равновесие и описывающие свойства линейных механизмов (см.
(1)-(5)). Важным свойством анонимных механизмов экспертизы
является то, что при их исследовании достаточно ограничиться
изучением линейных механизмов экспертизы с одинаковыми
весами всех экспертов.
Перейдем к рассмотрению нечетких механизмов активной
экспертизы, то есть механизмов, в которых сообщения экспертов
нечеткие. Для этого, в первую очередь, требуется определить, что
понимается под равновесием Нэша в случае, когда стратегии игро-
ков нечеткие. Напомним, что в четком случае s* ? S – равновесие
Нэша, тогда и только тогда, когда выполнено:
(6) ? i ? I ? si ? Si fi( s i* , s ?i ) ? fi(si, s ?i ),
* *

где fi(s) – целевая функция i-го АЭ, s = (s1, s2, …, sn) – вектор сооб-
щений, s-i = (s1, s2, …, si-1, si+1, …, sn) – обстановка игры для i-го АЭ.
Обозначим P(?) – множество четких равновесий Нэша. В
[15, 76] доказано, что P(?) ? ?.
67
Пусть функции выигрыша игроков fi : X > ?1 и механизм
планирования ? : S > X четкие, а сообщения АЭ нечеткие. Обо-
˜
значим1 S i - множество всех нечетких подмножеств множества Si,
˜
i ? I, S - множество всех нечетких подмножеств множества S.
˜
Стратегией i-го АЭ является нечеткое сообщение ˜i ? S i с
s
функцией принадлежности µ ˜i ( s i ) . Построим функцию принад-
s
˜
лежности µ ˜ ( s ) вектора ˜ ? S [81, 82]:
s
s
(7) µ ˜ ( s ) = min { µ ˜i ( s i ) }.
s s
i?I
˜
Обозначим S(x) = {s ? S | ?(s) = x}, X - множество всех не-
четких подмножеств множества X. Тогда в соответствии с принци-
пом обобщения [82] при нечетких сообщениях АЭ и четкой проце-
дуре планирования коллективное решение ˜ будет нечетким
x
подмножеством множества [0; 1] с функцией принадлежности
µ ˜ ( x ) , определяемой следующим образом:
x
(8) µ ˜ ( x ) = sup µ ˜ ( s ) .
x s
s?S ( x )
˜
Определим предпочтения экспертов на множестве X нечет-
ких коллективных решений. Образом нечеткого множества µ ˜ ( x )
x
˜
при четком отображении fi: X > ?1 будет нечеткое множество f i с
функцией принадлежности µ ˜ ( f i ) , которая в силу принципа
f i
обобщения удовлетворяет:
(9) µ ˜ ( f i ) = sup µ ˜ ( x ) ,
x
f i
x?X i ( f i )
где Xi(z) = {x ? X | fi(x) = z}. Подставляя (7) и (8) в (9), получим:
(10) µ ˜ ( f i ) = sup sup min { µ ˜i ( s i ) }.
s
f i i?I
x?X i ( f i ) s?S ( x )
Выражение (10) есть функция принадлежности нечеткого вы-
игрыша АЭ в ситуации игры ˜ = ( ˜1 , ˜2 , …, ˜n ).
ss s
s

1
Здесь и далее тильда обозначает нечеткость соответствующей
переменной.
68
В общем случае, когда предпочтения АЭ на множестве кол-
лективных решений нечеткие, то есть заданы нечеткими отноше-
˜
ниям предпочтения (НОП) Ri с функциями принадлежности
µ R ( x, y ) , x, y ? X, i ? I. Фиксируем для i-го АЭ нечеткую обста-
˜
i

новку ˜?i , тогда (8) можно записать как µ ˜ ( x, ˜i , ˜?i ) . Анало-
s ss
x
гично можно записать (10) как: µ ˜ ( f i , ˜i , ˜?i ) . Тогда обобщенное
ss
f i
˜
НОП i-го АЭ на множестве S i есть [75, 82]:
(11) ? i ( ˜i1 , ˜i2 , ˜?i ) = sup min { µ ˜ ( x1 , ˜i1 , ˜?i ) ,
sss ss
x
x1 , x2 ?X

µ ˜ ( x1 , ˜i2 , ˜?i ) , µ R ( x1 , x 2 ) }.
ss ˜
x i
Имея НОП (11) можно по аналогии с тем как это делается в
[82] построить для каждого АЭ множество максимально недоми-
нируемых при данной обстановке альтернатив, а затем воспользо-
ваться (6) для определения нечеткого равновесия Нэша. Такой путь
возможен, но трудоемок, поэтому вспомним, что в рассматривае-
мой модели предпочтения АЭ четкие, и вернемся к выражению
(10).
˜
Введем на множестве S i отношение « f ˜? i » доминирования
s

стратегий: при фиксированной остановке ˜?i игры ˜i2 f ˜? i ˜i1
s s s
s
тогда и только тогда, когда:
(12) ? f i1 ? f i 2 : f i 2 ? f i1 и µ ˜ ( f i1 , ˜i1 , ˜?i ) ? µ ˜ ( f i 2 , ˜i2 , ˜?i ) .
ss ss
f f
i i
Рациональным будем считать выбор активным элементом не-
доминируемой стратегии. Вектор недоминируемых стратегий
назовем нечетким равновесием Нэша. Отметим, что в предельном
случае – при переходе к четким стратегиям – введенное нечеткое
равновесие Нэша совпадает с (6).
˜
Обозначим P (? ) – множество нечетких равновесий Нэша.
˜ ˜
Очевидно, что выполнено P(?) ? P (? ) , то есть P (? ) ? ?.
Введем следующее предположение:


69
A.2.2. Функции выигрыша АЭ строго однопиковые с точками
пика ri; нечеткие множества ˜i , i ? I, нормальны1.
s

<< Пред. стр.

стр. 7
(общее количество: 14)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>